PROGRESSIONS
la proposée en y insérant pp'p^^ ... — 1 moyens. — Connaissant le premier terme a d'une progression arithmétique, le dernier / et le nombre des termes n, on a la somme S de tous les termes par la formule
IS. Progression gpéoinétrique. — Définition. — Raison plus grande ou plus petite que Tunité. — On désigne la raison par q et touies les autres notations sont conservées. — On démontre d'abord la formule
(3) l==Uq''-\
OQ résout ensuite les mêmes problèmes et on démontre les mêmes théorèmes que pour les progressions arithmétiques ; seulement on emploie la formule (3) au lieu de k formule (Ij. — On fait usage, pour calculer la somme S des termes de la progression de Tune ou l'autre des formules
,4^ ' S=i^Ilf, (5} S = ^^l^fi.. '
Quand la progression géométrique est décroissante et indéfiniment
prolongée, la somme S a une limite, et cette limite est
90. Gomme application de la règle de la multiplication algébrique, nous allons faire connaître la formule qui donne le développement de la puissance m d'un binôme. Mais auparavant il faut traiter quelques questions dont la solution est du reste très-utile à connaître dans diverses parties des mathématiques.
»i. i%.rran9ement8. — On appelle arrangements de m lettres r h r les différents résultats qu'on obtient en écrivant r quelconques de ces m lettres, les unes à la suite des autres, de toutes les manières possibles. Ainsi, par exemple, les arrangements de trois lettres a^b^c, deux à deux, sont a&, ac, ba. bc, ca, cb.
Observation. — En écrivant les lettres, les unes à la suite des autres, on ne veut pas exprimer que les quantités (Qu'elles représentent sont nécessairement multipliées entre elles, mais seulement qu'elles sont écrites dans l'ordre indiqué. C'est dans ce sens général que le mot résultat doit être compris.
Soit proposé maintenant de trouver la formule qui fait cou-
naître le nombre des arrangements de m lettres r à r. CJonsidérons d'abord le cas où r est égal à 2, et soient a, b^ c..^ k, l les m lettres.
On inscrit dans une première colonne verticale tous les arrangements obtenus en écrivant à la suite de la lettre a les lettres restantes 6, c, d ...,&, i, puis, dans une seconde colonne, les arrangements qui sont formés de la seconde lettre b suivie de toutes les autres, et ainsi de suite jusqu'à la dernière lettre / inclusivement. On a ainsi le tableau suivant :
ab ac ad
al
ba bc bd
ca ...
cb . ,, cd ...
bl
et a • «
la Ib le
Ik.
Je dis maintenant que ce tableau contient tous les arrangements de m lettres prises, deux à deux, et qu'il ne les contient qu'une seule fois.
D'abord, tous les arrangements sont différents. En effet, dans chaque colonne les arrangements diffèrent par la dernière lettre et, d'une colonne à l'autre, par la première lettre.
Le tableau contient aussi tous les arrangements. Car un arrangement pris au hasard hd, par exemple, se trouve dans la colonne qui correspond à la lettre h.
Il est clair dès lors que, pour connaître le nombre des arrangements de m lettres 2 à 2, il suffit de compter le nombre des résultats inscrits dans le tableau. Or chaque colonne contient m — 1 résultats et il y a m colonnes, le nombre demandé est donc m{m — 1).
Si l'on veut maintenant obtenir le nombre des arrangements de m lettres, 3 à 3, à la suite de chacun des arrangements de deux lettres on écrira les m — 2 lettres restantes, et on inscrira dans une même colonne verticale tous les résultats qui correspondent à un même arrangement de deux lettres. On prouve alors, comme dans le premier cas, que tous les résultats ne se trouvent qu'une fois dans le tableau, et qu'ils y sont tous contenus ; il ne reste, plus qu'à compter le nombre des résultats inscrits au tableau. Or comme il y a ??i — 2 résultats dans chaque colonne, et un nombre de colonnes égal au nombre des
