PERMUTATIONS, COMBINAISONS

arrangements de m lettres 2 à 2 ou m{m — 1), on voit que le nombre des arrangements de m lettres 3 à 3 est m{m — l)[m — 2). Soit maintenant Am,r le nombre des arrangements de m lettres r à ?% on arrive par induction à la formule suivante

c'est-à-dire que le nombre cherché est le produit de r nombres entiers, consécutifs et décroissants, dont le premier est m.

On peut encore arriver à la formule générale (1), en partant de la formule

qui donne le nombre des arrangements r kr quand on connaît celui des arrangements r— 1 h r — 1. Cette formule se démontre par le même raisonnement qui a conduit aux formules particulières au cas où r est égal à 2 ou 3. Si ûxi y remplace r, successivement, par r — t , r — 2, r — 3. . . 2, on a, en observant que A,n,i est égal à w,

Am,r-1 = (Wl — r + 2) A«,r-î,

Multipliant maintenant, membre à membre, les dernières égalités et l'égalité (2), on arrive encore, après suppression des fadeurs communs, à la formule (1).

99. PermutaiioiiB. — On appelle permutations de m lettres tous les résultats qu'on obtient en écrivant toutes ces lettres, les unes à la suite des autres, dans tous les ordres possibles. Il résulte de cette définition que les permutations de m lettres ne sont autre chose que les arrangements de m lettres prises m à m. On pourra donc obtenir le nombre des permutations de m lettres en faisant r égal à m dans la formule (1) du n» précédent.

Si alors on désigne par P„ le nombre des permutations de ^ lettres, on a

OU

(1) P«=I X2x3. .. .xm.

Cette dernière formule montre que le nombre des permutations de m lettres est le produit dfes m premiers nombres entiers.

On peut encore obtenir directement la formule générale en établissant successivement les formules pour les cas de 2, 3, 4 lettres et achevant par induction, ou aussi en établissant d abord la formule

Pm = ^^ Pm— 1 ,

et procédant ensuite, comme à la fin du n° précédent.

^8. Combinaisons. — On désigne sous le nom de combinaisons de m lettres r à r les résultats qu'on obtient en écrivant, les unes à la suite des autres, r quelconques des m lettres, sous la condition qu'il n'y ait pas deux des résultats qui contiennent la même lettre. On comprend bien quel sens diiférent il faut atti'ibuer aux mots arrangement et combinaison,. Ainsi, avec les trois lettres a, ft, c on ne peut former que les trois combinaisons a6, ac et bc, tandis qu'on obtient six arrangements a6, 6(2, ac, ca^ bc^ cb. On voit, en même temps, qu'à chaque combinaison des trois lettres correspondent deux arrangements, parce que dans chaque combinaison les deux lettres peuvent être permutées de deux manières.

En général, si le nombre des combinaisons de m lettres r à r était connu, pour obtenir tous les arrangements de rti lettres r à r, il faudrait permuter les r lettres de toutes les manières possibles dans chaque combinaison, de sorte qu'à chaque combinaison correspond un nombre d'arrangements égal au nombre Pr des permutations de r lettres. On aura donc en désignant par Cr le nombre des combinaisons de m lettres r h r.

d'où Ton tire

et en remettant pour Am^^ et Pr leurs valeurs trouvées dans les deux -numéros précédents, il vient

m r ^(^ — 1) (m — ?) . . . , {m — r-\- 1) le nombre des facteurs étant le même dans les deux termes.