CHAPITRE VII

MISE EN ÉQUATION DES PROBLÈMES ET SPÉCIALEMENT DES PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE, LORSQU'ON EST RAMENÉ A DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE

Je vais prendre pour guide, dans ce chapitre, l'Arithmétique universelle de Newton.

— La règle du n*^ 32 est applicable à tous les problèmes, quelle que soit leur nature, mais quand il s'agit spécialement des problèmes de géométrie, quelques nouvelles observations doivent être faites.

Après avoir tiré, s'il est nécessaire, quelques droites ou décrit des cercles pour mettre en évidence les propriétés de la figure, on aura surtout à faire usage des théorèmes sur les lignes proportionnelles et les figures semblables, du théorème de Pythagore sur les triangles rectangles et des propositious qui s'y rattachent, telles que les théorèmes sur la somme et la différence des carrés des côtés dans un triangle. On emploiera aussi le théorème qui exprime une relation entre le produit des diagonales d'un quadrilatère inscriptible et ses côtés, et les divers théorèmes sur les tangentes au cercle.

Dans un problème d'application de l'Algèbre à la Gléométrie, il s'agit, en général, de déterminer la position de points ou de droites au moyen de certaines longueurs qui peuvent être considérées comme inconnues auxiliaires. Mais le choix des longueurs de droite peut être très-varié, et la simplicité delà solution en dépend. Je dirai seulement ici, avec Newton, qu'en général on doit prendre pour inconnues les longueurs qui ont un moins grand nombre de valeurs, parce que le degré de

1 équation du problème en est d'autant plus simple. Quant à reconnaître d'avance le nombre des valeurs de l'inconnue auxiliaire, c'est à quoi l'on parvient ordinairement sans difflciilté par une étude quelque peu attentive de la figure.

Une fois le problème mis en équation, il est possible que la vue des équations suggère l'idée de certaines combinaisons ou de remploi d'inconnues auxiliaires. Alors tout ce qui a été dit n^S30 et suivants est applicable.

Je passe maintenant aux exemples.

«4G. Problème I. — Connaissant trois côtés d*un quadrilatère inscriptible dans un demi cercle^ calculer le diamètre du cercle circonscrit^ lorsque deux des côtés donnés sont

égaux.

Pour pouvoir suivre Nevsrton de plus près, je supposerai d'abord que les trois côtés donnés sont quelconques. On trouvera, il est vrai, une équation du troisième degré, mais en y rétablissant l'hypothèse que deux des côtés donnés sont égaux, on sera ramené à la résolution d'une équation du second degré.

Newton donne plusieurs solutions du problème en prenant toujours la même inconnue, et il a ainsi voulu montrer les divers partis qu'on peut tii*er des propriétés d'une même figure.

Première méthode. — Soit ABCD (flg. 28) le quadrilatère cherché dont les côtés donnés AB, BC, CD sont désignés, respectivement, par a, 6,'c : le quatrième côté AD est le diamètre inconnu que nous appelons x. Tirons la diagonale BD et abaissons BE perpendiculaire sur le prolongement de BC.

Les triangles rectangles BCE et ABD étant semblables, on a d'abord

Les mêmes triangles donnent aussi

BD« = ar« — a*, BE =h^

on a ensuite dans le triangle rectangle BDE

BÈ' = BD'-(CD + CE)^ = a.«-o«— ^— ^-c*.

et si Ton égale celle valeur de BD à celle qu'on a déjà trouvée, il vient

( 1 ) a?« — (a* + 6* -f c*)a? + 2abc = 0.

Deuxième méthode. — On égale entre elles deux expressions du carré de la diagonale BD. On a déjà trouvé une première expression œ* — a* ; pour trouver la seconde, il suffit d'évaluer le carré de BD dans le triangle BCD : on a ainsi

BD* = 6« + c« ^— ^.

L'éqoalion du problème est donc

2abc

w* — a* = fc* + c* —

et en chassant le dénominateur on retombe sur l'équation (1).

Troisième méthode. — On projette le sommet B en 6 sur AD et Ton prolonge BC jusqu'à sa rencontre en F avec AD.

Désignons la distance AF par y, et prenons-la pour inconnue auxiliaire :^ les triangles semblables ABF, CDF donnent alors

CF y — a? c

"v"~ BF ~T' d'où l'on tire

En écrivant que BC ou b est la différence entre BF et CF, on a une première équation

a*[y — a?) — c*y = abc, et Ton en déduit

Maintenant le triangle rectangle ABD donne

et, par suite, on a dans le triangle BAF

Égalant ensuite cette valeur de BF à celle qu'on a trouvée plus haut, on obtient

et en substituant dans cette équation la valeur de y donnée par 1 équation (2), on a lequation demandée.

Quatrième méthode. — Dans le quadrilatère ABCD oa mène la seconde diagonale AC, et Ton a