AC X BD = AB X CD + BC X AD

Substituant alors dans cette relation à BD et AC leurs .exprès-^

sions ^ X* — a* , V ^* — ^* ^"i se déduisent des triangles rectangles ABD, AGD, ou obtient

^ œ^ — a* . V ^* — c^ ^^ac-\- bXy et il ne reste plus qu*à élever au carré les deux membres.

Cinquième méthode. — On forme deux expressions différentes de la surface du quadrilatère, qu'on égale entre elles. Considérons d'abord le quadrilatère comme la somme des triangles ABD, CBD dans lesquels on prend pour bases AB et CD. Les hauteurs BD et BE ayant pour expressions, comme on

Ta déjà vu, V ^* — «* 6' — ^ » 1® quadrilatère a pour

mesure

{ax -j" bc) Va?* — g* 2x *

Mais on a immédiatement une seconde expression de la surface du quadrilatère, telle qu'elle résulte de la décomposition en triangles par la diagonale AC, en permutant les lettres a et c dans la mesure qu'on vient de trouver. La seconde mesure est donc

et, par suite, Féquation du problème est

iax-^bc) y] x^ — a* = [ex -{- ab) >J x^ — c^.

en élevant au carré les deux membres et supprimant le facteur commun (a* — c^)x^ on retrouve encore l'équation (1).

SixiàicE vÉTHODE. — Oo abaisse (fig. 29) B3 et GK perpendiculaires sur AD, puis CL perpendiculaire sur BG. On a d'abord dans le triangle rectangle BCL

CL' + BL*=fc«.

Mais en tenant compte de ce que les droites B6 et GK sont moyennes proportionnelles, la première, entre AG et GD, et la seconde, entre AK et DK, on a

d'un autre côté, on a aussi

Su X 30

Maintenant si Ton remplace, dans la première équation BL, et Gl< par les expressions trouvées, et qu'on fasse disparaître les radicaux, on arrive à l'équation

{x^ — (a« + è« + c^)xY — ia^b^d^ = 0.

Cette équation se décompose en deux autres

œ^ — (a« + 6* + c^)x — 2abc = 0.

a^^la*-^ 6«+ c^)x + 2abc = 0.

Mais x^ doit être plus gi and que a* -f- 6* -|- ^*» puisque dans

le triangle rectangle ACD, ou a a?' égal à c* + AG , et que,

Tangle ABG étant obtus, AG est plus grand que a* -f- 6* : alors. c'est la première équation qu'il faut prendre.

Cas ou deux des cotes donnés sont égaux.

. Solution indirectel — Il suffit de faire b ou c égal à a. Si b est égal à a, l'équation (i) devient

a^ — (2a* + c*)a? — 2a«c = 0, ou

ar(x« — c«) — Va*(x + c) = 0, *

et si Ton divise les deux membres de l'équation par le facteur X -{-c qui, égalé à zéro, ne donne pas de solution, on arrive à l'équation du second degré

0?* — ex — 2a* =ï 0;

MISE BN ÉQUATION DES PROBLËUES. 3tl

si 1*00 avait fait c égal à b, on eut trouvé de même

«oiution directe. — Nous allons choisir^ parmi les méthodes employées dans le cas général, celles qui s'adaptent le mieux aux deux cas particuliers, et nous y ajouterons quelques autres.

Première MÉTHODE. — Prenons d*abord la quatrième méthode du cas général qui s'appuie sur une propriété bien connue du quadrilatère inscriptible : elle s'applique aux deux cas particuliers.

Si Ton suppose d'abord c égalàdi^ le quadrilatère devient un trapèze isocèle dans lequel les deux diagonales ont pour

expression commune \/x' — a', et l'on a

x^ — a* = te + a', ou

a?» — te — 2a» = 0.

Si b est égal à a, Téquation est

et en supprimant le facteur commun a: -j-c, on a encore l'équation demandée.

Deuxième méthode. — Pour le cas où b est égal à a. — On forme comme dans la cinquième méthode du cas général deux expressions de la surface du quadrilatère, et l'on a

a«(ir + cY [x^ — a*) = {cx+ a»)* {x^ — c«).

Après la suppression du facteur x{œ + o) commun aux deux termes, on obtient l'équation demandée.

— La méthode est évidemment inapplicable dans le cas où c est égal à a.

Troisième méthode. — Pour le cas où c est égal d a. — Procédons comme dans la sixième méthode du cas .général. Seulement, le quadrilatère étant devenu un trapèze isocèle, on a GK égal à b. Alors on obtient immédiatement

pour équation du problème.

Quatrième méthode. — Pour le cas où b est égala a. —

3 12 QUESTIONS D'ALGÈBBË ËLÉlfENTAIRK.

Tirons (fig. 30) la diagonale AG et le diamètre BE qui coupe U diagonale en I. On a

AB* = BEXBI; Mais

BI = OB-OI=-y--|,

On a donc l'équation

949. Problème IT. — Calculer les côtés de Vangle droit d'un triangle rectangle ABC, connaissant l'hypoténuse BC et la somme des deux côtés de Vangle droit et de la hauteur AD qui correspond à Vhypoténuse,

Solution de Ne^vton. — Soient a l'hypoténuse, b la somme des trois droites AB, AC et AD,, et u la hauteur inconnue AD. On prend pour inconnue auxiliaire la différence AC — AB qu'on appelle y. Alors on a

AC + AB = ft - w, AC ~ AB = î/, et, par suite,

(1) AC=-^^::|±i^. xB^ ^-^-y ■

On a donc, d'après la propriété du carré de l'hypoténuse,

(6— u + t/)« + (6-w — 2/)« = 4a«, ou

Mais en égalant entre elles deux expressions du double de la surface du triangle, on obtient

AC X AB = au,

ou, en remplaçant AC et AB par les valeurs que donnent les équations (1),

(3) {b — u)* — 2/« = iau.

Si maintenant on ajoute, membre à membre, les équations (2) et (3), il vient

(4) u* — 2(a+fc)w + è«- a* = 0.

Cette équîation, qui est du second degré en m, fera connaître

cette quantité : on aura ensuite y par Téquation (2) et AG et AB par les formules (1).

Deuxième méthode. — Désignant maintenant par â; et y les deux côtés de Tangle droit, on a les trois équations

Élevantlapremièreau carré, retranchant, membre àmembre, avec la seconde et remplaçant ccy par au^ on trouve, comme plus haut, Téquation (4). Si ensuite on .multiplie les deux membres de la troisième équation par 2, qu'on retranche, membre à membre, avec la seconde, puis qu'on extraie les racines carrées des deux membres de l'équation obtenue, on a

X — y = yj a^ — 2au ;

et comme la première des équations données fait connaître x-\-y en fonction de w, on voit que, lorsque u est déterminé, X et y le sont aussi.

148. Problême UT. — Calculer les côtés d'un triangle rectangle^ connaissant la somme a des deux côtés de Vangle droit et la hauteur h.

Solution <ie iVevirton. — Soit X Thypoténuse et y la différence entre les deux côtés de l'angle droit AC et AB, on a

AC + AB = a, AC — AB = y, d'où