BINOME DE NEWTON

M* IFornaule pour le développemeiii «l'un prodnltde m facteur» binôme» (^+a) (5?-|-6) .... (a?+/c) (x-j-l). —

Je suppose que le produit cherché soit ordonné par rapport aux puissances décroissantes de m. Il est évident d*abord que le premier terme du produit est x^. On peut obtenir ensuite le cœfBcient de a?"*"* de la manière suivante : isolant le premier facteur \ar + a, on a x***"* pour produit des premiers termes des autres, et en multipliant a?*"'* par le second terme a du binôme ^ + a on obtient le terme ao?*""' du produit. On voit de même que les autres termes sont te"*"*, c;r"*~* .... te***"* : le coefficient de x"^* est donc a + 64-c+.... + Z, c est-à-dire la somme des seconds termes des facteurs binômes.

Le coefficient de a?**"* se calcule d'une manière analogue. En laissant de côté les deux facteurs a? ■+ a et a? + 6, et faisant le produit des premiers termes des m — 2 autres facteurs, on a a? , puis en multipliant par le terme ab du produit (x -}-. a) (a? + &), on obtient abx"^"*. Mais comme on peut isoler deux quelconques des facteurs, il est clair que le coefficient de

X sera la somme des produits, deux à deux, des seconds termes des facteurs binômes.

En continuant le même raisonnement, on voit qu'en général le coefficient du terme qui contient ar"*"*" est la somme des produits r k r des m lettres a, 6, c . . . . A, /. Alors si l'on désigne, en général, par B^ la somme des produits des m lettres prises r à r, on aura la formule demandée

FORMULE POUR LE DÉVELOPPEMENT DE (^+^)"* OU BINOME DE NeWTON.

M. Faisons dans la formule précédente les nombres 6, c .... ft, / tous égaux à a. On obtient alors

(j) B, = ma, Ba = C,„,2 . a*, B3 = Gm,z . a» . . . .

Ea effet, chaque terme de la somme jt» -j- 6 -j- c . . . . + i devenant égal à a, B, prend la valeur ma. Dans Bjj chaque