AB~ HD' BF"" FÎT

d'où l'on tire

^P AB X GF (r ~ n)ar

FE "~ n — m ' „„ BFxFG nir^n)x FE n - m

Il vient ensuite

n — m Enfin, la valeur du rapport cherché est donnée par l'équation

HP (r—n ) ,

BH n{r — m) ' ,

On peut retrouver par la Trigonométrie la solution obtenue par Newton. Soient a, p, x les trois angles GAfi, DAB, ABD : on a dans les triangles ABG, ABD -^

BG ^ sin g BD __ sin p .

AB sin {x+a) ; AB "~ sin (a? + p) *

Divisant, membre à membre, les deux équations et représentant toujours par — le rapport -kh-»^^ obtient

T Du

m sin {X + p) sin { x + «) cotg p + cotg x

"y sin jS * sin « cotg « + cotg a? '

et de là on tire

m cotg « — r cotg p

oolg x = : -2-i- •

En remplaçant dans celte formule cotg «, cotg p, cotg x, respective-

1 1 — HD ment, par — — , — zr=.— , on retrouve la formule de Newton. m n BH

M8. Problème VIII. — problème de Pnppu». — Étant données deux droites rectangulaires indéfinies XX' et YY' (fig. 34), on propose de mener ^ par im point G équidistant des deux droites^ une sécante^ telle que la partie interceptée entre les deux droites ait une longueur donnée.

En faisant tourner la sécante autour du point G dans un sens déterminé et à partir d'une position initiale, OC par exemple, on voit que dans les angles YOX' et XOY' la sécante prend toutes les valeurs, depuis zéro jusqu'à Tinfini, tandis que dans l'angle XOY elle décroît, depuis l'infini jusqu'à un certain minimum, pour croîti^e ensuite depuis ce minimum jusqu'à l'infini On conclut évidemment de là que le problème a toujours au moins deux solutions qui correspondent, chacune, à une position de la sécante dans les angles YOX' ou XOY', et qu'il a encore deux autres solutions dans l'angle YOX, lorsque la longueur donnée est supérieure au minimum dont on a parlé.

Première méthode. — iioiution de Ae^wton. — Soient b la longueur donnée, et a la longueur commune des distances CD et CE du point C aux deux droites XX', YY'. Prenons d'abord une position AB de la sécante dans Tangle YOX, et choisissons pour inconnue la distance OA que nous appellerons X : soit aussi posé OB égal à y. Le triangle rectangle AOB donne d'abord

(1) x^ + y*z=zbK

En exprimant ensuite que la surface du triangle AOB est égale à la somme des surfaces OGA, 0GB, on a immédiatement, après la suppression du facteur — ,

(?) (vy = a(x + y).

Il est facile de s'assurer que les équations s'appliquent à tous les cas de figure, si l'on considère x iîorame positif ou négatif suivant que le point A est à droite" ou à gauche de O, et de même y comme positif ou négatif, suivant que le point B est au dessus ou au dessous du point O L'équation (1) restant

MISE EN ÉQUATION DBS PROBLÈMES. 3i»

toujours la même, quels que soient les signes de x et de y, tout revient à faire la vérification pour la formule (2). Or il suffit pour cela de remarquer que, dans les deux angles YOX', XOY', le triangle OAB est égal à la difîerence des triangles OCA, OBG au lieu d'être égal à leur somme.

Cela posé, éliminant xj entre les équations (1) et (2), on obtient

^ ic* + 2ba^ + (&* — 2a»)a72 ^a'^bx — a«6« = 0.

Cette équation est du quatrième degré et a quatre racines qui correspondent aux quatre positions de la sécante. Pour la résoudre, on ajoute aux deux membres a^b^ + a*. Alors le premier membre devient un carré parfait, et en extrayant les

racines carrées des deux membres, on a

.^« + to — a« = ± a V â« + i^\

et on est ramené à résoudre deux équations du second degré.

Deuxième méthode. — Solution <ie i^e^wton. — Dans la méthode précédente on a trouvé une équation du quatrième degré qui donnait les quatre racines OA, OA', OA^', OA''' correspondant aux quatre positions de la sécante. Mais on comprend que, si Ton prenait pour inconnue auxiliaire une grandeur qui, pour les quatre positions de la sécante, n'aurait que deux valeurs, on tomberait, en général, sur une équation de degré moindre. C'est ce qui a engagé Newton à prendre pour inconnue la distance du point C au milieu I du segment compris entre' les droites XX', YY', cette distance n'ayant évidemment que deux valeurs différentes. Soit le segment AB compris dans l'angle XOY, I son milieu, et z la distance ÇU^ que l'on prend pour inconnue. On a d'abord

Mais les triangles semblables CDA, CBE, donnent