CA DA
ou
CB CE ' b a
et en développant les calculs, on trouve
163* — 8(6» + 4a«)3* + ** — 8aW = 0.
On s'assurerait facilement que Téquation est générale. L'équation n'est pas du second degré par rapport à z, comme on pouvait l'espérer, mais bien par rapport à js* : on la résout alors comme équation bicarrée.
Troisième méthode. — Reprenons les équations de la première méthode
(1) a?» + y« = ft«, (2) xy = a{x + y)y
mais, au lieu d'éliminer y entre les deuz équations, multiplions les deux membres de Téquation (2) par 2, et retranchons, membre à membre, avec la première.
Il viendra alors
(3) (A? + 2/)« - 2a[œ + y) - fti = 0, d'où l'on tire
en substituant ensuite les deux valeurs de x -]- y dans l'équation (2) on obtient
(5) xy:=^a{a± V (a» + b%
les signes supérieurs des radicaux étant pris ensemble, ainsi que les signes inférieurs dans les équations (4) et (5). xeiy seront alors les racines de deux équations du second degré
(6) X^-{a+yJ a' + b^) X + a(a + V ç^*+ &*) = 0,
(7) X^—{a—yJa^ + b^) X + a(a — V â* +^fc«) = 0-
Chacune des équations (6) et (7) donne un système de valeurs pour X et y de sorte que le problème auxiHaire d'Algèbre n'a que deux solutions. Mais les valeurs de x et y, devant être portées, l'une sur XX', l'autre sur YY', ont chacune une signification particulière t et le problème de géométrie a, en général^ quatre solutions.
Au lieu de résoudre lès équations (6) et (7), il est préférable de déterminer ar-fi/ P^^ l'équation (4) ; ou xy par l'équation (5) ; car on sait en géométrie construire un triangle AOB, connaissant un côté AB, l'angle 0, et la somme ou le produit des deux
autres côtés : c'est ce qu'on va développer dans les deux méthodes suivantes.
Quatrième méthode. — Supposons que du point O on abaisse une perpendiculaire h sur AB, et qu'on la prenne pour inconnue, on aura
gcy = bh.
Mais si l'on suppose la sécante dans le premier angle, l'équation (5) de la méthode précédente donne
et des deux équations qu'on vient d'écrire, on déduit
La longueur h se construit par une quatrième proportionnelle à trois droites données, et quand on Ta obtenue, du point comme centre, avec cette longueur pour rayon, on décrit un cercle, puis du point C on mène des tangentes à ce cercle.
On trouverait de même la construction pour les deux autres positions de la sécante.
Cinquième méthode. — On part de Tune des valeurs de jr + V que donne l'équation (5), mais au lieu d'employer la construction ordinaire pour déterminer un triangle, connaissant un côté, l'angle opposé et la somme des deux autres, on tire un auti'e parti de la connaissance que l'on a de la somme x-^-y.
Considérons d'abord les deux sécantes AB et A'B' situées dans l'angle YOX. Aux points A et A' on élève deux droites AH, A'H respectivement perpendiculaires à AB et A'B', et on les prolonge jusqu'à la rencontre de la droite indéfinie EG. On voit d'ailleurs facilement par la géométrie que les deux droites rencontrent EC au même point H, et Ton remarque aussi que, le quadrilatère HAA'C étant inscrit dans une demi- circonférence, la perpendiculaire FG au milieu de AA' passe par le milieu G de GH. On a, par suite,
OA 4- OA' = 20F, EH -f EG = 2EG,
d'où résulte
