EH + EC = OA 4- OA
322 QUESTIONS D'ALGKBHE ÉLÉMENTA[RE.
Mais OA' étant égale à OB ou y, on a
EH + EC = a; + ?/ = a + V^*-f **
et par conséquent
EH =i\ rt«+6».
La longueur EH est donc l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit sont a et 6. Quand elle est construite, on la porte de E en H, puis on décrit sur CH comme diamètre un demi- cercle : alors les deux points ou ce demi-cercle coupe OX sont les points demandés A et A'. Si l'en avait supposé que la sécante était située dans Tun des angles YOX' ou XOY', la méthode eut été la même. Seulement les distances OF et OG eussent été les demi-différences au lieu d'être les demi-sommes des distances considérées, et dans la valeur de .r + ?/, il aurait fallu prendre le radical avec le signe — .
SlXlÈiME MÉTHODE. — liolutloii 4le RappUB. — Soit fou-
jours la sécante AB située dans le premiei' angle. On ^rend pour inconnue la distance EH, que l'on appelle u et on désigne AH ou son égale BG par v. Alors le triangle rectangle CAH donne
(1) [h--vY + v^ = {u — a)\
Adjoignons à ces deux équations l'équation identique
puis, après avoir multiplié par 2 les deux membres de l'équation (2), ajoutons, membre à membre, les équations (1), (2), (3), nous aurons
comme on l'avait déjà trouvé dans la cinquième méthode.
On verrait sans difficulté que, lorsque la sécante est dans l'un des angles YOX' ou XOY^ on a toujours Téquation (4). Seulement la valeur de u doit être portée à gauche du point E.
Septième méthode. — On décrit un cercle sur la sécante AB comme diamètre (fig. 35), et on prend, pour inconnue t, la distance au point du point L où le cercle coupe la bissectrice OG prolongée. Tirons la droite LA qui est évidemment le côté
MISE EN KgCATlON DES PROBLÈMES. 32:i
du carre inscrit dans le cei'cle et qui a, par conséquent pour
b yJY valeur — - — . Les triangles semblables OLA, CLA donnent
OL X CL = xr.
Mais en remplaçant dans cette égalité les trois longueurs OL, CL et AL par leurs valeurs, on a
ou
Cette équation a toujours deux racines réelles, Tune posi-»tive et l'autre négative. La racine positive correspond au cas de figure considéré, et on démontre facilement que la valeur absolue de la racine négative, étant portée sur le prolongement de OC au dessous du point O, correspond aux deux autres positions de la sécante. Quand le point L a été construit, on décrit un cercle du point \j comme centre avec un rayon
égal à — - , et les points où il coupe OX sont les points
A et A' qui correspondent aux deux positions de la sécante dans l'angle YOX.
On aurait d'une manière analogue les deux autres positions de la sécante.
Remarque. — Pour s'exercer, les élèves pourront encore prendre, pour inconnues, les rayons des cercles inscrits et exinscrits au triangle AOB et aux deux triangles analogues*.
Les problèmes d'algèbre les plus intéressants à traiter, sont, sans contredit, les problèmes d'application de V Algèbre à la Géo^nétric, Je vais cependant donner encore deux problèmes de pure algèbre, parce que leur mise en équation présente quelque diflaculté.
954. Problème JX. — Bacchus trouve Silène endorihi p^ès d'un tonneau plein de vin, et boit pendant les trois ciwju innés du temps que Silène aurait employé à vider le tonneau. Si- Jène s'éveille et boif le reste du vin. Si Bacchus et Silène eussent bu ensemble, le tonneau eut été vidé sij- heures plus tôt, et Bacchus n'aurad bu que les deux tiers de ce qu'il a laissé à Silène,
324 QUESTIONS DALGÊBRE ÉLÉMENTAIRE.
On demande combien il faudrait d'heures à chacun d'eux pour vider le tonneau.
Soient Sx et by les deux nombres d'heures demandés. Bacchus boit d'abord pendant un temps 3y, et comme en une heure
il vide la fraction-^ du tonneau, dans le temps 3y il videra
la fraction -^ . On sait d'ailleurs que, 3x et by étant les temps
employés séparément par les deux buveurs pour vider séparé-
ment le tonneau, ils le videront ensemble en un temps -;r — j-l- .
ox-f-by
Lorsque Bacchus a bu, il laisse à Silène 1 — ^de vin, et,
par suite, celui-ci a mis, pour boire, un temps 11 — ^ |5y : les
deux buveurs ont donc mis ensemble un temps égal à
(u \ (Hx ^"^ bu^ti 1 ^]by ou -^ ^^ . En écrivant ensuite que la X I X
difiérence des deux temps définis dans Ténoncé est égale à 6,
on a
{Sx — by)y \bxy
X Sa? + 52/
Exprimons maintenant que la quantité de vin bue par Bacchus eut été dans le second cas les deux tiers de ce qu'il a laissé effectivement à Silène. Gomme Bacchus vide en une heure
1 bxu
une fraction -^r— du tonneau, dans le nombre d'heures
3x ' Zx+by
qu'il emploierait à boire dans le second cas, il viderait une
bXI
fraction du tonneau égale à ^.^ , — r- . On a donc pour se-
conde équation du problème
En chassant les dénominateurs dans les deux équations trouvées, on obtient
2bxy'^ — 2by^ + 9xy — 18a?« — SOxy =
\ùy^-{-\\xy — 6x^ = 0,
et en résolvant ces deux équations on trouve pour x eiy les valeurs 5 et 2 : les nombres d'heures demandées sont donc 15 et 10.
9&&. Problème X. — Des poteaux sont placés le long d'une route^ de kilomètre en kilomètre. Deux voyageurs A et B, partant de Vun des poteaux, en veulent atteindre un autre ^ distant du premier d'un nômhre pair de kilométrées ; mais ils n'ont qu'un seul cheval à leur disposition, et ils font la convention suivante : Chaque voyageur, à^on tour, ira à cheval pendant un kilomètre et à pied pendant le kilomètre suivant; et dans ce but, chacun d'eux, après avoir monté le cheval pendant un kilomètre, le laissera attaché au poteau extrême, pour que l'autre voyageur puisse l'y trouver, La vitesse du cheval est d'ailleurs deux fois plus grande queceVe de B. Celui-ci monte le premier à cheval et les deux voyageurs arrivent ensemble au septième poteau qui suit le premier. Mais alors, trouvant qu'il est, nécessaire d'augmenter leur vitesse, ils conviennent de faire un demi-kilomètre de pluspar heure, à pied. La vitesse du cheval est maintenant double de celle de K, et c'est encore B qui monte le premier à cheval. On demande, sachant que le voyage
a duré 2 heures -\- -^ d'heu/re, quel est le nombre de kilomètres
parcourus par les deux voyageurs.
Soit 2x ce nombre. B, montant le premier à cheval et parcourant un nombre impair 7 de kilomèti-fes, fait un kilomètre de plus à cheval qu'à pied. Il va donc, à cheval, pendant 4 kilomètres et, à pied, pendant 3 kilomètres. Pour le voyageur A c'est évidemment le contraire, il va, à pied, pendant 4 kilomètres et, à cheval, pendant 3 kilomètres. On voit que., si on laisse de côté les 3 kilomètres pendant lesquels les deux voyageurs montent à cheval, on peut dire que, tandis que A marche pendant 4 kilomètres, B marche pendant 3 kilomètres et monte à cheval pendant 1 kilomètre. Mais comme la vitesse de B à cheval est deux fois plus grande qu'à pied, il est visible que,
pendant que A fait à pied 4 kilomètres, B ferait à pied -^
de kilomètres. En résumé, les vitesses des deux voyageurs A
et B sont entre elles comme 4 est à —- ou comme 8 est à 7 :
nous les représenterons alors par 8j/ et ly.
Tenons compte maintenant de la seconde partie du trajet.
Le chemin qu'il reste à faire aux deux voyageurs est représenté par le nombre impair 2x — 7. Le voyageur B qui part
32fi QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
le premier fera donc 1 kilomètre de plus, à cheval qu'à pied, c'est-à-dire a? — 3 kilomètres à cheval et a? — 4 à pied ; le voyageur A, au contraire, fera x . — 3 kilomètres à pied et X — 4 à cheval. Retranchant maintenant, de part et d'autre, les X — 4 kilomètres que les voyageurs font tous deux à cheval, on voit que, tandis* que A fait x — 3 kilomètres à pied, B fait x — 4 kilomètres à pied ei 1 kilomètre à cheval. Mais pendant que B fait 1 kilomètre à cheval, A fait un demikilomètre à pied ; donc, pendant que A fait à pied x — 3 — r-
ou a? ^ kilomètres, B fait à pied x — 4 kilomètres ; et l'on
voit que le rapport des vitesses de A et B est maintenant
;— . Or, d'après une autre condition de l'énoncé, les
vitesses primitives des voyageurs qui étaient 8y et ly ont augmenté de -^ . On a donc une première équation
iy^\
Pour trouver une seconde équation on égale le nombre d'heures 2 -f- -7T^ à l'expression en x et y de la durée du voyage. En
Do
divisant les espaces par les temps, et ne s'occupant que du voyageur A, on arrive immédiatement à l'équation
% ' 142/ o,. . 1 o. Jo,. î M 63
on en déduit
ly • 162/ — 1 63
En remplaçant dans cette dernière équation y par sa valeur tirée de l'équation (1), on obtient l'équation
qui a pour racines le nombre entier 8 et un nombre fractionnaire qu'il faut rejeter. Le nombre de kilomètres fait par les deux voyageurs est donc 16.
La solution précédente est due au Rev, A. Boiver^ late Fellow ofs^John's Collège, Cambridge.
On ne donne pas d'exercices i la fin du chapitre. Ils sont renvoyés après le chapitre suivant où les problèmes sont, à la fois, mis en équation et discutés d'une manière complète
