CHAPITRE VIII
RÉSOLUTION ET DISCUSSION DES PROBLÈMES QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. - EXERCICES.
9MI. Problème 1. — Un courrier part d'une ville A ; il fait \0 lieues le premier jour, et les jours suivants il accélèi'esa
vitesse de — de lieue par jours. 3 jours ap^ès, un second
courrier^ marchant dans le même sens que le premier^ part d'une ville B située^ en avant sur la route, à 40 lieues de la ville A. Il fait 7 lieues le Ipremier jour, et penet pendant chacun des jours suivants il accélère sa vitesse de
— de lieue par jour. On demande combien de jours y après le
départ du premier courrier, la rencontre des deux courriers aura lieu.
Solution de M. «turm. — Soit X le nombre de jours demandé. Le chemin parcouru par le premier courrier est la somme des termes d'une progression arithmétique dont les
extrêmes sont 10 et 10 + — r — , c'est-à-dire 120 -| r — I-k-
(79 + x)x ou X • .
En observant que le second courrier ne marche que pendant X — 3 jours, on trouve pour le chemin qu'il parcourt
l'équation du problème est donc
(1) (^l-+f)^iJI±£l(^iilL 40 = o,
OU, en multipliant les deux membres par 24,
(2) 5a*«— I25a? + 552 = 0. • En résolvant cette équation on trouve
Mais, en mettant le problème en équation, on a supposé que x était entier ; on ne peut donc pas admettre les valeurs précédentes comme répondant à la question. Je vais faire voir néanmoins que les parties entières des racines 5 et 19 sont bonnes, c'est-à-dire qu'il y a deux rencontres, la première pendant le cinquième jour, la seconde pendant le dix-neuvième. On remarque d'abord que, si Ton représente par a le chemin parcouru par le premier courrier et par ^ le chemin parcouru par le second courrier, augmenté de 40 lieues, les deux courriers marchant respectivement pendant des nombres entiers de jours xet X — 3, on a identiquement
Gela résulte évidemment de ce que l'équation (2) a été déduite de l'équation (1) en changeant les signes de tous ses termes et en les multipliant par 24.
Substituons maintenant dans le premier membre de l'équation (2) successivement les nombres 5 et 6. Les deux nombres, comprenant la plus petite racine 5,82, donneront, le premier, un résultat positif, le second, un résultat négatif. Mais à cause de ridentité (3), la quantité p — a a toujours le même signe que le premier membre de l'équation (2) ; donc, au bout de cinq jours, a est plus petit que p, et c'est le contraire au bout de six jours. Une premièie rencontre a lieu par conséquent, comme il a été dit, entre le cinquième et le sixième jour.
On prouve, d'une manière toute semblable, qu'une seconde rencontre a lieu le dix-neuvième jour. La possibilité de cette seconde rencontre se conçoit d'ailleurs très-bien, car le second courrier, augmentant sa vitesse plus que le premier, le rencontrera après s'être laissé d'abord devancer par lui. C'est ce que l'on vérifie en cherchant au bout de combien de jours les deux courriers ont la même vitesse : on trouve le nombre 13 compris entre 5 et 19.
On peut se proposer maintenant de déterminer les fractions qu'il faut ajouter aux nombres 5 et 19, pour avoir l'époque pré-
cise des rencontres, lorsqu'on admet que la vitesse des courriers reste constante pendant toute la durée d'un jour. Cherchons, par exemple, l'époque de la seconde rencontre.
Pour obtenir Tintervalle qui sépare les deux courriers au bout de 19 jours, il suffit, d'après l'identité (3), de remplacer,
dans le premier membre de l'équation (2), x par 19 et de diviser
le résultat par 24. On trouve ainsi 7" > 1® signe — indiquant
que le courrier B n'a pas encore atteint le courrier A au commencement du dix- neuvième jour. Mais les vitesses de A et B pendant le dix-neuvième jour étant respectivement
10 + -T- 6t 7 + —^ ou —^ et 17, si Ton appelle y la
fraction de jour cherchée, on aura, pour déterminer cette inconnue, l'équation
On en tire y égal à 0,5, et par conséquent la seconde rencontre des deux courriers a lieu au bout de 19^,5.
957. Problème II. — Déterminer un quadrilatère circonscriptible ABCD (fig. 36), connaissant le rayon r du cercle inscrit et les longueurs a, b, c, d, des côtés AB, BC, CD, DA.
Solution de M. Mourf^uen* -~t On pose
Xf y, 2, u seront les inconnues. -
Pour mettre le problème en équation, on considère deux cas suivant que le quadrilatère est convexe ou concave. (On exclut le cas du quadrilalère dont les côtés opposés ?e croisent sur la figure).
Quand le quadrilatère est convexe, on a évidemment les équations
(1) ip-f-t/=a, 2/+^ = *>^+*^ = <^^+^=d• Mais on peut voir que, lorsque le quadrilatère est concave, les équations précédentes ont encore lieu, pourvu que Ton considère les inconnues comme pouvant être positives ou néga-
(*) Professeur au collège Rollin.
tives. Si Ton suppose, par exemple, que Tangle D est rentrant, on voit facilement que Ton a
GC — DG = c
Mais cette égalité se déduit de la troisième des équations (l) en remplaçant GC par zQiu par — DG : une valeur négative de u correspondra donc à un quadrilatère concave ayant un angle rentrant en D.
A cause de la relation
les équations (1) n'en font réellement que trois; il faut, par conséquent, trouver encore une équation. Elle nous sera donnée par le théorème suivant :
Dans tout quadrilatère concave ou convexe, circonscrit à un cercle, le produit de deux côtés adjacents et le produit des deux autres sont entr'eux comme les carrés des distances au centre des sommets qui correspondent aux deux couples de côtés.
En appliquant le théorème, qu a
^=4, d'Où (3) ^;iç=4;
l'équation (3) est l'équation demandée.
En retranchant, membre à membre, la seconde et la troisième des équations (1), on obtient
et si Ton substitue dans Téquation (3) la valeur de w que donne l'équation précédente, il vient
{cd — a%« + 2ab{b — c)y — ab(b — c)* + r\cd - a^>) = 0.
Mais en remplaçant d par a + c — b et posant
(4) a + c= b + d = p, on trouve facilement
ab — cd = {b — c)p,
et l'équation en y devient, par la substitution de {ù — c)p kab — cd,
(5) py2 2aby + ab{b — c) + pr^ = 0'
On en tire
abdt ^ abcd — pV* * '
Si maintenant on pose
M = V abcd — pV*,
on aura les valeurs des quatre inconnues par les formules
, , aH-M cd±M bc^zM ad^zM
les signes supérieurs de M étant pris ensemble ainsi que les signes inférieurs.
On voit qu*en général, avec les cinq données a, b, c, d, r, on peut construire deux quadrilatères.
DISCUSSION
La condition de réalité des valeurs de y est d'abord
^ ^ abcd p
-Quand elle est remplie, les quatre inconnues sont réelles, et, par conséquent, r n'est assujetti à aucune autre condition nécessaire : le rayon r a donc pour valeur maxima -^ , et,
P par suite, la. surface pr du quadrilatère a pour valeur maxima
\ abcd. Mais on sait que telle est l'expression de la surface d'un quadrilatère, à la fois inscriptible à un cercle et circonscriptible à un autre ; par conséquent, le rayon du cercle inscrit à un polygone, dont les côtés sont donnés et qui. est circonscriptible à un cercle, a une valeur maxima lorsquç le polygone est inscriptible à un cercle.
Nous pouvons maintenant, sans rien ôter à la généralité des résultats, poser les inégalités
a > fe > d > c, et on en conclut immédiatement que les quantités
cd, bCy s/ abcd, ad^ ab sont rangées^ comme nous les avons écrites, dans Tordre de
grandeur croissante. C'est ce <jui est évident pour les quatre quantités cd, 6c, ad et a6, en vertu des inégalités précédentes.
Quant à la quantité yabcd qui est la moyenne géométrique entre bc et ad, elle est comprise entre ces deux quantités. On voit alors que, si l'on prend la quantité M comme variable
auxiliaire, on devra la faire croître depuis zéro jusqu'à V (^bcd en passant par les valeurs intermédiaires cd et bc. On est ainsi conduit à distinguer plusieurs cas.
!• M = 0. — On a une seule solution, un quadrilatère convexe.
2" < M < cd. — Alors les deux valeurs des quatre inconnues sont positives, et les deux quadrilatères sont convexes.
3** M = cd. — Si on prend M avec les signes supérieurs dans toutes les formules (6), on obtient des valeurs positives pour toutes les inconnues, et, par suite, on a un quadrilatère convexe. Mais quand on prend M avec les signes inférieurs, u est nul et les autres inconnues sont positives : on a donc un triangle ABC qui est langent en D à la circonférence.
4° cd < M < bc, — Les valeurs des inconnues, qui contiennent M avec le signe supérieur, sont positives; mais quand on prend les autres valeurs, on trouve pour ii une valeur négative et pour x^y^ z des valeurs positives. Lés deux quadrilatères sont donc, l'im convexe, l'autre concave.
5**M = bc. — Aux signes inférieurs de M correspond un quadrilatère concave, et aux signes supérieurs un triangle.
6° 6c < M < V abcd, — Quand on prend les signes supérieurs de M, 2 est négatif et x, y, u positifs, et quand on prend les signes inférieurs, u est négatif et x, y, z positifs. On a donc deux quadrilatères concaves qui ont respectivement pour angle rentrant l'angle C et l'angle D.
Si dans les inégalités ou équations de condition qui précèdent, ou remplace M par ^ abcd — pV^, et qu'on résolve par rapport à r*, on aura des inégalités ou équations dont les premiers membres seront égaux à r*, et dont les seconds membres seront
. (ad-^bc) ,{ab~cd) abcd
oc , cd à » — ô ' •
En désignant ces tiois dernières quantités respectivement par
triangle
triangle
e, /, g^ OU pourra résumer toute ia discussion dans le tableau suivant
Variation de r*. Nombre de solutions.
' Quad. convexe. Quad. concaye.
Le triangle est rangé à volonté parmi les quadrilatères convexes ou concaves.
969. Problème III. — Etant donnés une droite indéfinie XY et deux points A e^ B sur cette droite, on propose de déterminer sur la même droite un point C, tel que, si l'on construit un iriangle équilatéral sur AC et un carré sur CB et qu'on tire In droite DE, le pentagone ADEFB ait une surface donnée m-. On admet d'ailleurs que le triangle et le carré soicrit placés d'un même côté ou départ et d'autre de la droite XY, de telle sorte que les côtés non adjacents du pentagone ne se coupent pas sur cette figure (Baccalauréat).
Premier cas ae fli^ure. — Le point G est placé entre A et B. — Alors on devra supposer que le triangle équilatéral et le carré sont d'un même côté de XY comme dans la figure (37).
Soit a la distance donnée des deux points A et B, et x la distance cherchée AC : on trouve immédiatement pour équation du problème
(t) — 1 ^ \'{x — af = m«.
Deuxième cas de fl§rure. -=- Le point G est à droite de B. — Dans ce cas, le triangle équilatéral et le carré devront être placés de part et d'autie de XY, et on a encore un pentagone ADEFB. (Le lecteur aura soin de mettre sur la figure, qu'on lui laisse à construire, les mêmes lettres que sur la première). Ou doit maintenant retrancher le triangle DCE de la somme du carré et du triangle équilatéral, et on a l'équation
/Cï\ ^* V^ (^ «)^ ' I / va
mais cette équation est évidemment la même que l'équation (1).
Xroisième caf« de fl§rure. — Le point G est à gauche de A. — Il faut encore construire le triangle équilatéral et le carré de part et d'autre de XY, et, comme dans le second cas, lasurface du pentagone s'obtient en retranchant le triangle DEC de la somme du triangle équilatéral et du carré. On a alors l'équation
Cette équation rentre encore dans l'équation (1), en changeant dans celle ci a? en — a?, c'est-à-dire si, conformément au principe de Descartes^ on considère comme négative la distance AC lorsque le point C est à gauche de A.
En résumé, on voit que l'équation (1) est générale, pourvu qu'on applique le principe des signes de Descaries, et que l'on constiuise le triangle équilatéral et le carré comme il a été convenu.
Pour faciliter le langage, nous dirons qu'une solution est du premier, du second ou du troisième genre, suivant qu'elle se rapportera au premier, au second, ou au troisième cas de figure.
DISCUSSION
Écrivons l'équation (1) sous la forme
(4) (3 -j- y/ 3)^î '7ax + i{a^ — m*) = 0.
En exprimant d'abord que les racines doivent être réelles, on trouve la condition nécessaire
(5) m»> î^-gg a\
et, comme les valeurs de x ne sont assujetties à aucune condition restrictive, on en conclut que m* n'est soumis à aucune
autre condition nécessaire. La quantité a* est
