G QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
donc le miuimum de la surface, et ce uiinimum correspond à une valeur de x donnée par la formule
On voit encore que, dès que l'inégalité (5) est ;satisfaite, le problème a toujours 'deux solutions. Il ^n'y a donc plus qu'à préciser le genre de chacune des solutions, suivant la valeur donnée à m*.
Pour distinguer, Tune de l'autre, les solutions du premier et du second genre, il laut, suivant notre méthode, comparer X h a : c'est ce que Ton fait en substituant a k x dan» le premier membre de l'équation (4). On trouve pour ré-
sultat de la substitution 4 1 — r ^^**l ; — f — sera donc
l'une des valeurs par lesquelles on fera passer m*. On peut remar-
quer d'ailleurs que r)i* pourra être inférieur à — j- — , parce que, comme on le voit facilement, on a
Quant à la solution du troisième genre, comme elle est donnée par une valeur négative de x^ elle correspondra, d'après l'équation (4), à une valeur de )n* plus grande que a*. La quantité a' seja donc aussi une quantité par laquelle on -devra faire passer ?n'.
Remarquons encore que, si m' est plus petit que — ^ — ,
les deux valeurs de j?, qui sont alors toutes deux positives, sont
plus petites que a, puisque l'on obtient un résultat positif en
substituant ah x dans le premier membre de l'équation (4), et
la que la somme des racines ~ z-^- est évidemment plus petite
que 2a.
Cela posé, faisons varier m', depuis son minimum
— : — a' jusqu'à l'infini, en passant par les valeurs
et a*.
1® m* =: . — On a une solution double du pre-
7(3 — V 3) a mier genre, la valeur de z, -r -I— ^^ — , étant positive et
plus petite que a.
^, 49 v/y-51 ^ , d'yjî
96 < wi' < — - — , — La quantité m* étant
plus petite que a*, leg deux racines sont positives, et comme
elle est en même temps plus petite que — j- — , d'après l'observation faite plus haut, les deux valeurs de x sont plus petites que a. On a donc deux solutions du premier genre,
3° m* = — 7 — , — L'une des valeurs de x deviei\t égale à
a et l'autre est toujours positive et plus petite que a. On a donc pour solution un triangle et une solution du premier genre. Le triangle pouvant être considéré comme un pentagone limite du premier genre, on peut dire que le problème a encore deux solutions du premier genre
*° — < m* < a*. -^ On a toujours deux racines posi-
a«V3 tives; mais m' étant devenu plus grand que — - — , Tune des
valeurs de x est plus grande et l'autre plus petite que a. On obtient alors une solution du premier genre et une autre du second.
50 ^î^::::^*^ — Alors l'une des valeurs de x devient nulle, et l'autre reste toujours positive et plus grande que a. On obtient donc un carré et un pentagone du second genre et l'on peut dire encore que l'on a une solution du premier genre et une solution du second.
6" rrfl > a*. — Dans ce cas, l'une des valeurs est positive et plus grande que, a et l'autre, négative : on a donc une solution du second genre et une autre du troisième.
En représentant par p la fraction on peut
écrire le tableau suivant qui résume la discussion.
Variation m*.
m* < pa* m* = pa"^
pa^ <m^< ^ 2
Nombre des solutions.
9611. Problème IV. — Gn a un levier droit et horiz9ntal
(fîg. 38), dans lequel le point fixe est en dehors des points d'application d^s forces. Une force R donnée^ étant appliquée en A perpendiculairement à la droite OA, on propose d£ trouver sur le prolongement de cette droite un point B, tel que, si on applique en ce point une force donnée Q, parallèle, et de sens contraire à la force }\, le levier soit en équilibre. On suppose que le levier est terminé au point B, et que le poids de son unité de longueur soit b.
Soient d la distance OA et ^ la distance cherchée. En appliquant le théorème des moments au poids du levier et aux deux forces Q et R qui sont trois forces parallèles, on a immédiatement l'équation du problème.
bxX^—l?x-^Vid = Q
OU
(1) 6ic« - 2Pa? +*2Rd =
d'où ,
P±V/P«— 2Rftd
DISCUSSION
On trouve d'abord pour condition de réalité des racines
(?) P > yJWbd,
et dès que cette condition est remplie, les valeurs de x, d'après l'équation (1), sont réelles et positives. Mais pour qu'une valeur de x soit admissible, il ne suffît pas qu'elle soit réelle et positive, il faut encore qu'elle soit plus petite que d ; car
si l'on suppose le point B entre O et A, réqualioiidu problème est toute différente.
On substituera alors d k œ dans le premier membre de Téquation (1), et comme le résultat de la substitution est
R -f- -z PJ, on sera conduit à supposer successivenîent
hd que P est inférieur, égal ou supérieur à R + "9- • ^^ première
hypothèse est d'ailleurs possible, caria moyenne arithmétique
R-] — — entre les quantités 2R et hd est plus grande que
leur moyenne géométrique V 2RM . On remarque encore que,
hft
lorsque P est plus petit que R -| — —- , les valeurs de x ne
sont pas nécessairement toutes deux plus grandes que d, puis-
9R^ que leur produit — - — est inférieur, égal, ou supérieur à d^,
suivant que R est inférieur, égal ou supérieur à — - . On est
alors conduit à distinguer trois cas, auxquels correspondent des résultats qui sont inscrits dans les trois tableaux suivants. Pour abréger l'écriture on a posé
et comme on n'a que des solutions d'un seul genre, on a écrit immédiatement au dessous de la condition à laquelle P satisfait, le nombre de solutions correspondant
^ hd
Premier cas. — H <C
Deuxième coia» — R ^
bd
Troiaième cn«. — R > —,
bd
Je crois inutile de donner ie détail de la discussion. Il suffit
bd de se rappeler que tout dépend du signe de R + — P
ou a — P et du produit des racines —7— • Dans le cas intermédiaire, il faut remarquer que les deux quantités a et c deviennent égales à 2K.
Pour la vériâcation des résultats de la discussion, on pourra voir le problème I du chapitre suivant.
990. Problème V. — Étant donnée une sphère (fig. 39), on propose de la couper par un plan mené à une distance OD du centre, telle que la surface du cône ABC circonscrit à la sphèn^e le long de la section, augmentée de m fois la surface de la zone extérieure AEB soit égale à une surface donnée, (m est un nombre positif quelconque).
Soient r le rayon de la sphèi-e, 27rar la surface donnée, ar, y, z les trois longueurs inconnues OD, DB, CB. Après la suppression d'un facteur 2?r commun à tous les termes, on a d'abord Téquation
(t) î/2 -f- 2tnr (a? -f- r) — 2ar = o
Si maintenant on tire le rayon OB, le triangle rectangle ODB et les triangles semblables ODB, CDB donnent
a;> -|- y* = r*, œz = ry,
d'où l'on déduit
ry ry^ rOr^ — x^)
et en remplaçant dans Téquation {\) yz par son expression en X, qu'on vient de trouver, on obtient
(2) . (2m-- 1)5?* — 2(a — mr)ir-f r« = 0.
On tire ensuite de cette équation
a — mr ± yj{a — mrf — {im ^ {)r*
DISCUSSION
Pour Ljue le problème proposé soitpossible, il faut et*il suffit qu'on puisse trouver pour x une valeur réelle, positive, et au plus égale à r. Avant d'exprimer ces conditions, on remarque
DISCUSSION DBS PROBLÈMES. 341
que Téquation (2) a ses racines réelles quand 2m — 1 est négatif ou nul. On est alors conduit à distinguer trois cas dans la discussion, suivant que m est inférieur, égal, ou supérieur
Premier cas* — m <Zi -r- .
L'équation (?) a alors ses racines réelles, l'une positive et l'autre négative. La racine négative étant rejetée, on \oit que le problème ne peut avoir qu'une solution, et encore, pour qu'elle existe, faut-il que x sojt plus petit que r. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffît que le résultat de la substitution de r à x dans le premier membre de l'équation (2) soit de même signe que le premier terme, c'est-à-dire négatif; car la, valeur négative de x est nécessairement plus petite que r. Comme on trouve pour résultat de la substitution 2r(2mr— a), ou doit avoir
a > 2mr ou 2nra > iw^rr*.
Ainsi, quand la surface donnée sera plus petite que m fois la surface de la sphèi^e, le problème sera impossible, et quand la surface donnée sera égale ou supérieure à m fois la surface de la sphère, le problème aura toujours une solution et une seule.
On peut donc écrire le tableau suivant
8 < 4m7rr*, S = 4mTrr*, S > 4m7rr' 1 1
DeujLlÀme e»»* — 171 :^ —
L'équation (2) se réduit au premier degré et donne
et en écrivant que la valeur de x est égale ou inférieure à r, on trouve
a > r ou 2'!^ra > 2i^r^ ;
c'est la même condition que dans le cas précédent, si l'on tient compte de l'hypothèse : m égal à — • ; les conclusions sont donc les mêmes.
Ml QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
XrolBiéme cas. — W > — •
Le produit des racines de réquatioii (2; étant supérieur, égal ou inférieur à r*, suivant que m est inférieur, égal, ou supérieur à 1, on est conduit à subdiviser le cas actuel en trois
autres.
On trouve d^abord que pour que x soit réel, on doit avoir
(3) a <{m'^ V2m — l)r, ou (4) a > (m -f V 2m - l)f.
Quand Tune ou Tautre de ces conditions est remplie, les racines sont réelles et de même signe. Mais si Ton prenait la .première condition, a serait plus petit que mr et les deux valeurs de or seraient négatives : c'est donc la seconde qu'il faut prendre. Alors,cette condition étantsatisfaite,^ estplusgrandque mr, et les deux valeurs de x sont positives. On remarque encore que, m étant plus petit que 1, le produit des valeurs de r est supérieur à r*, et que par conséquent les racines de l'équation (2) ne peuvent être, à la fois, plus petites que r : le problème ne peut donc avoir plus d'une solution. D'ailleurs, pour que cette solution existe, il faut et il suffit que le résultat de la substitution derkx dans le premier membre de l'équation ()), c'est-à-dire 2r(2m?' —a) soit négatif ou nul; on doit donc avoir
a ^ ^mr ou 27tra > imnr* ;
et cette condition suffit, car elle entraîue l'inégalité (4). On voit que les conclusions sont -encore les mêmes que dans les deux premiers cas.
2** m = 1 . — On arrive encore à la même conclusion.
3° m> 1. — Dès que la condition (4) est remplie, les deux valeurs de x sont réelles et positives. Mais elles seront toutes deux plus petites que r, ou Tune, plus petite et l'autre plus grande que r, suivant que a sera plus petit ou plus grand que 2mr. Ainsi, le problème aura deux solutions
quand a sera plus grand que {m -}- yj2m — l)r et inférieur ou égal à "znir; et il n aurajjlus qu'une solution lorsque a sera plus grand que 2m}\ l^e problème aura d'ailleurs une solution
double quand a sera égal à (m -f- v^2m — \)r et il deviendra
impossible quand a sera inférieur à cette dernière quantité.
Si l'on désigne par p la quantité m + ^2m — 1, on pourra résumer la discussion du dernier cas dans le tableau suivant :
S < 2npr^, S = 2npr*, 2npr* < S < 4m7rr«, S > imnr* I ? 1
On peut remaixiuer qu'en ayant égard aux résultats de la discussion, il n'y a réellement que deux cas distincts : ♦n < J, m> 1. (Voyez le problème II au chapitre suivant).
Mil. Problème. — Étant données deux sphères O et O' extérieures, Vune à Vautre (flg. 17), on propose de trouver sur la ligne des centres un point A, tel que les deux cônes de révolutionj gui ont leurs sommets en ce point et sont tangents respectivement à chacune des sphères^ comprennent dans leur intérieur deux zones dont la somme soit donnée
Soient r, r' et d les rayons et la distance des centres des deux sphères, x et x' les distances AO et AO'. On a vu (Prob. ni, 133) que la somme des deux zones avait pour expression.
On peut alors considérer la surface 2rcl 1 -\ comme
étant donnée, et en la représentant par 2nm*, on a
Si l'on remplace ensuite dans cette équation x' par d — œ, il vient
(1) m«a?« ^{r^^r^^ rf^«)[- d.r» =
d'où Ton rire
rt -. r'» + c/m* ± yj{r^ --r'^ -f- dn}Ff— \dm^r^
DIBGUSSIOM.
On trouve d'abord que, pour que les valeurs de x soient réelles, on doit avoir
et elles seront en même temps positives d*après l'équation (1). Mais pour qu'une valeur de x soit bonne, il faut encore qu'elle soit plus grande que r et plus petite que d — r*. Cherchons alors les résultats de la substitution de r et cf — r^ kx dans le premier membre de l'équation (1). Gomme on trouve qu'ils sont respectivement.
on devra considérer, comme valeurs principales de nfl, les
dr'* j r's __ Y» dr^ + r» — /»
quantités , -' ; . On aura aussi
à comparer à r^ et (d — r')* le produit des racines — ^ , et l'on sera conduit aux deux nouvelles valeurs principales de tn*.
dret-^ — Ts-^ ' dr^
Posons maintenant
dr^« ^ r< -, r^ dr^^r^ — r^
dr^
= c, dr := h.
Je dis d'abord que l'inégalité (2) doit être exclue, et que, par suite, il faut prendre l'inégalité (3). C'est ce qui sera effectivement démontré, si l'on fait voir que les différences /*— a etc — a sont positives. En effet, si la quantité m' est plus petite que a, elle sera, en vertu des hypothèses faites, plus petite aussi que /"et c. Alors les deux racines auront leur produit plus grand que {d — r')*, en même temps que d — f'^ substitué à x dans le premier membre de l'équation (2), donnera un résultat positif . Les deux racines seront donc toutes deux
DISCUSSION DBS PROBLÈMES. 345
plus grandes que d — r' et devront être rejetées. Or comme on trouve
'ii^ '•') • V'd(d-r')
On en conclut que l'inégalité (2) ne peut avodr lieu.
Nous allons maintenant ranger, par ordre de grandeur croissante, les valeurs principales 6, /, c, g, h. A cet effet, calcu» Ions d*abord les trois différences h - g, g ^ fet f — b : on trouve
g—f (r+Od^->(2r»4-2r^*4-3rrO(^f(r-fr^)(r^4-r^«+rrO
les deux premières différences sont évidemment positives : je dis qu*il en est de même de la troisième.
En effet, en égalant le numérateur à zéro et résolvant l'équation obtenue par rapport à d, on trouve pour racines r-^-r'
et r + r^ — , . . Mais comme les sphères sont extérieures
Tune à l'autre, d est plus grand que la plus grande racine r + r', et le numérateur de la fraction et g — /"sont positifs. Il est donc démontré que les quantités fr, /", g, h, dans l'ordre où nous les nommons, sont rangées dans Tordre de grandeur croissante.
Si l'on calcule ensuite les différences f — c, v^ — >f^$ on obtient
(*-^)' (d-^) \ld
et Ton voit que les deux différences seront toutes deux positives ou négatives suivant que Ton aura
d< ou > r' + r L/ -^ .
Los trois quantités 6, c, f, n'en feraient plus qu'une seule, si d était égal à r' + ^ \/ -y- •
Lorsque d est plus petit que r' -^-r 1 / - -, la quaatité c
se place avant b^ et, dans le cas contraire, au delà de f. La suite de la discussion prouvera d'ailleurs que, lorsque d est supérieur à r' + r \/ —j- , il suffit de savoir que c est plus grand
que /*, sans fixer sa place par rapport aux quantités g et h. On est conduit, par ce qui précède, à distinguer trois cas dans la discussion, suivant que d est supérieur, égal ou inférieur
Premier ctii». — d > r' + ^ \/ "p" •
Alors les valeurs principales de m* sont rangées dans Tordre de grandeur croissante, comme il suit :
Cy h, /, g, h.
On va maintenant faire croître w' depuis sa plus petite valeur jusqu'à sa plus grande, en observant ce qui arrive quand la variable passe par l'une des valeurs principales.
1* m' < ft. — On voit tout d'abord qu'on ne peut pas donner à m* une valeur plus petite que c, ou comprise entre c et é, puis que m* ne peut être plus petit que b à cause de l'inégalité (3) qui est nécessaire.
2° m* = 6. — On trouve pour x une valeur double donnée par la formule
drV""
r\lr-\'r'^r'
et comme cette valeur, dans le cas actuel, est plus grande que r et plus petite que d — r', le problème a une solution et une seule ;
S** b<^m'^^[. — w* étant plus grand que &, les deux valeurs de X sont réelles et positives : mais, à cause de m' plus petit que fet pïus grand que c, elles sont en même temps plus petites que d — •r' ; car on trouve un résultat positif en substituant d — r' à la place de x dans le premier membre de 1 équation (1), et le produit des racines de cette équation est plus petit que {d — ?')'• Comme m* est aussi plus petit que g et//, on voit, par une explication toute semblable à la précé-
DISCUSSION DBS PROBLÈMES. 347
dente, que les deux valeurs de x sout toutes deux plus grandes que T, Il est donc démontré que le problème a deux solutions lorsque t?i* est compris entre b et f. Dans le cas où m* est égal à /*, l'une dés racines est égale k d — r' et l'autre est plus pepetite que d — r' puisque, m^ étant plus grand que o, le produit des racines est plus petit que [d — r')* : il y a encore deux solutions.
k"" f<^m^ ^ g. — wi* étant plus grand que /*, le résultat de la substitution de d —r' k x dans le premier membre de l'équation (1) est un nombre négatif: une racine est donc plus grande que rf — r' et l'autre plus petite. Mais m* étant plus petit que ^ et /i, les deux racines sont toutes deux plus grandes quer; il y a donc une solution et une seule. Quand m* est égal à g^ Tune des valeurs de x est égale à r et l'autre pins grande que r, mais en même temps la plus petite des deux valeurs est plus petite que d — r' tandis que l'autre est plus grande. On vérifie ainsi, ce que l'on savait d'avance, que rest plus petit que d — r'y et il y a encore une seule solution.
5° t?i* > ^. — L'une ^des valeurs de x est alors plus grande que r et l'autre plus petite. Mais comme m^ est plus grand que f^ l'une des valeurs de x est plus petite que et — r' et l'autre plus grande ; la plus petite et la plus grande racine sont donc, respectivement, plus petite (jue r et d - ?', et plus grande que r et c^ — r'. Le problème est donc impossible.
La discussion se résume dans le tableau suivant.
m* < b, m^ = b, b< m^ < /*, f< "i* <g, rn* > g 1 ' 2 1 0.
neuxi^nie eaB<
l*" m^ <if. — Gomme f est alors égal à b^ le problème est impossible.
2"" m=z f. -- Quand m* est égal à /", on trouve la valeur double d — r^ toujours admissible.
S"" /'<m*'<^. — Ou voit, comme dans le cas précéilent, que le problème a une solution et une seule.
4* m* > ^. — Le problème est impossible.
Si Too observe que, pétant égal à b, l'intervalle de b k fse trouve supprimé, on voit que le résultat de la discussion est le même que dans le premier cas.
Xrolsième cas. — d < f' -|- r m/ — .
Les valeurs principales de m*, abstraction faite de c, sont maintenant rangées dans l'ordre de grandeur croissante, comme il suit :
Quant à la quantité c, il suffit de s ".voir qu'elle est actuellement plus grande que f.
1* m^ < /*. — Le problème est ini able, car, m' étant plus petit que f et c, les deux valeurs de œ sont toutes deux plus grandes que d-^ r'.
2** m^ z=^ f. — Alors Tune des racines est égale h d — r' et Tautre est plus grande : le problème a une solution.
3' /"< m* <$ g'. — L'une des valeurs de x sera* plus grande et l'autre plus petite que d — r', et comme, en même temps, m* est plus petit que g et h, les deux valeurs de x sont plus grandes que r : le problème n'a donc qu'une solution II en est encore de même quand m* est égal à g, parce que l'une des racines est égale à r et l'autre est plus grande que d — r',
4* m' > ^. — Pour la même raison que dans le premier cas le problème est impossible.
On peut résumer la discussion du troisième cas dans le tableau suivant
Gomme la somme des zones varie en sens contraire de m^, on voit que cette somme a une valeur maxima, qui correspond à w* égal à 6, dans le premier cas, et à m* égal à /*, dans le troisième.
Les résultats de la discussion qu'on vient de faire avaient déjà été obtenus d'une autre manière (page 156).
L Problème VIL — Insérer dans une sphère donnée
dont le rayon est r {fig, '40) un tronc de cône ABCD dont la
hauteur h et le volume — wa^h sont connus.
Soient ar, y, z, les rayons BF, AE de bases et l'apothème AB qu'on prend pour inconnues.- En exprimant que le volume
du tronc est égal à — wa'/ij on a d'abord l'équation
(1) a:** + iry + 2/* = a*.
Soient tirés le ro-yon OA, les droites 01, AH respectivement perpendiculaires sur AB et FB, et la parallèle IL à BF. Les tringles AOI, AHB donneront
(2) 0I=-1-^^^-^, (3) {x-y)* = ^-h*; on déduit ensuite des triangles semblables OIL, ÂBH
Multipliant les deux membres de l'équation (1) par 4 et retranchant, membre à membre avec l'équation (3), on a
3(aT + y)« = 4o* — 3» + A» ;
et en égalant entre elles la valeur de {x + y)^ tirée de cette équation et celle que donne l'équation (4), on obtient
On en tire
(6) z = \/2(a«+ h^ ± V(a«j-f-/i«)»— S/i^râ) .
DISCUSSION
Analyse. — Toute la question est évidemment de calculer z. Mais pour que la figure puisse'être construite, il ne suffit pas que la valeur de z soit réelle et positive, il faut encore qu'elle soit au moins égale kh et au plus égale à 2R. Il y a lieu aussi de considérer les troncs de cône des deux genres, auxquels s'appliquent également, comme on le voit sans peine, les équations (1), (3) et (4) et, par suite, l'équation (5). On reconnaît d'ailleurs facilement que la valeur de z donne un tronc du premier ou du second genre, suivant qu'elle est plus petite ou plus grande que V 2r/^ En effet, dans le trapèze ABCD le pro-
350 QUESTIONS D*ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE.
duit ABx AC du côté par la diagonale est égal à 2rft, et comme, des deux lignes AB et AC, la plus petite est la première ou la seconde, suivant que le tronc de cône est du premier ou du
second genre, le côté z est plus petit que yj 2rh dans le premier
cas et plus grand dans le second. Si z était égal à V 2r/i, le tronc deviendrait un cône.
Cela posé, on trouve d'abord pour condition de réalité de z
(On peut remarquer qne, lorsque h est égal ou supérieur à
r ^3, la condition est satisfaite d'elle-même.)
Quand Tinégalité (7) a lieu, en vertu de l'équation (5) les deux valeurs de 2* sont réelles et positives.
Pour comparer maintenant les valeurs de z* à h^, 4r* et 2r/i, substituons ces trois quantités successivement dans le premier membre de l'équation (5), considéré comme un trinôme du second degré en s'.. On obtient alors comme résultats des substitutions
(8) h\\2r^ - 4a» — 3h*) pour /^.^
(9) 4r«(4ra — 4a* — /i«) » Ar\ (10) Srh {2rh -- Ji^ — a*} » 2rh,
et si l'on égale à zéro les trois polynômes précédents, et qu'on résolve par rapport à a* les équations ainsi obtenues, on trouve pour valeurs principales les valeurs suivantes :
^(4|.«/ia) =:e, =d, h\2r — h) = c.
On les a représentées, comme on le voit, par e, d, c. Le second membre de l'inégalité (7) doit être aussi considéré comme valeur principale de a^, et l'on pose
Comme le produit des racines est, d'après l'équation (5). indépendant de m', on ne sera pas conduit à de nouvelles valeurs principales en le comparant aux quantités A*, 16r* et 4r»A^
On doit maintenant chercher quel est l'ordrede grandeur des quantités 6, c, d, e. Il est d'abord évident que b est . plus petit
quec et qned est plus petit que^. Calculons maintenant les différences d — 6, e — c^ d — c.
On a
, . (Wâ— 2r)« (2r — /i)(6r~A) d — b — , e—c— — ^ ,
d c = (^^ - 3ft) (g^ - ^) ,
Les deux piemières différences sont toujours positives, mais
la troisième est positive, nulle, ou négative, suivant que h est
2r inférieur, égal ou supérieur à -r- . On voit que, suivant que
2r h est plus petit ou plus grand que -^ , les valeurs principales
de a* sont rangées dans les deux ordres suivants :
6, c, rf, e\ b^ d, c, e.
Quand h sera égal à -r- , les deux valeurs c et d seront
égales.
Remarquons encore que le produit des deux valeurs de jz',
c'est-à-dire 12/iV', étant supérieur à /i* et à 4/îr*, il ne peut
jamais arriver que les deux valeurs de z soient toutes deux
'plus petites que h ou que ^2rh. Mais le produit des valeurs de
2* étant plus petit ou plus grand que i6r*, suivant que h est
2r v^^ plus petit ou plus grand que — ^ — , il y aura lieu de tenir
compte de cette circonstance.
Synthèse. — Il résulte de l'analyse précédente qu'il y aura les trois cas suivants à distinguer dans la discussion.
2rV'3 3 •
emler cas. — h -^
Variation de o».
Nombre des solutions.
Ou a écrit ici le tableau avant la discussion pour la rendre plus facile à suivre.
Les valeurs principales étant rangées dans l'ordre : &, c, d, e, on fait croître a^ depuis b jusqu'à e en passant pai* les valeurs intermédiaires c, et d,
1* a* < &. — Les deux valeurs de z sont imaginaires et le problème est impossible.
2® a* = 6. — On trouve pour z la valeur donnée par la formule
Cette valeur est plus grande que h et ^2rh, et elle est aussi
plus petite que 2r, puisque h étant plus ^ que est, à
2r v/~3~ plus forte raison, plus petit que — ^ . On a donc un tronc
de cône du second genre.
3' fe < a* < c. — a* étant plus petit que c, rf, «, les polynômes (8), (9) et (10) sont positifs ; et comme h est plus petit
2rVT que :: — - — , les deux valeurs de z sont plus petites que 2r et
plus grandes que h et ^2rh. Le problème -a donc deux solutions du second genre. Quand a* est égal à c, l'une des valeurs
de z est égale à ^2rh^ et un cône lui correspond ; Tauti-e valeur
reste toujours plus petite que 2r et plus grande que hei^ 2rh : elle donne un troncjdu second genre. Gomme un cône peut être considéré comme un tronc du premier ou du second genre, on peut dire que le problème a encore deux solutions du second genre.
4® c < a* < d. — a* devenant plus grand que c, le polynôme (10) devient négatif, et l'une des valeurs de js est plus
petite que ^ 2rh , tandis que Tautre est plus grande. Ces deux valeurs restent d'ailleurs comme précédemment plus grandes que h et plus petites que 2r. On a donc une solution du premier genre et une solution du second genre. Quand a* est égal à d, l'une des valeurs de z devient égale à 2r et l'autre plus petite ; elles sont d'ailleurs toujours plus grandes que A, et l'une
est plus grande que ^2rh et l'autre plus petite. On a donc
encore un tronc du premier genre et un tronc du second gem*e ; seulement ce dernier a pour apothème 2r.
5* d < a' < e. — a* étant plus grand que d, le polynôme (9) devient négatif, et Tune des valeurs de z est plus petite que 2r, tandis que l'autre est plus grande. La valeur plus grande que 2r est à rejeter, et comme la plus petite
valeur de z est plus petite que V 2r/i et l'autre plus grande,
on a une seule solution qui est du premier genre. Quand a*
est égal à e, cette solution devient un cylindre dont la hauteur
est h.
6® a* > e. — Le problème est impossible. En effet, dès que
a^ surpasse e, l'une des valeurs de z est plus petite et l'autre
plus grande que h et 2r, La première doit donc être rejetée
comme plus petite que /i, et la seconde comme plus grande
que 2r.
Quand h est égal à -^ r, les conclusions restent les mêmes
que dans le cas où h est plus petit que — r. Seulement, le
deux limites c et d devenant égales, Pintervalle entre c et d
doit être supprimé dans le tableau.
J'écris maintenant, sans nouvelle explication, les tableaux qui correspondent aux deux derniers cas. On retrouvera facilement, à simple vue, les détails de la discussion en suivant la même marche que dans le pi*emier cas.
OeoiLlème cas* — — «" < 'l ""^ 7i •
Variation de a^. Nombre des solutions.
X'rolslème cas. — '* P*" ô •
Je ferai seulement sur les deux tableaux les observations suivantes.
Quand h est égal à — = — ;, d est égal à 6 et il n'y a qu'à
supprimer Tintervalle A^dkb dans le second tableau.
Pour le troisième tableau, on voit que la limite inférieure de a^ est d au lieu de &. Mais c'est que, h étant plus grand que
2r \/T - — ^ — - , lorsque a* est plus petit que d, les deux valeurs de z
sont toutes deux plus grandes que 2r.
Remarque. — Le maximum de a' étant e dan« tous les cas, on peut conclure de la discussion précédente que les troncs de cône d'une hauteur donnée inscrits dans une sphère sont toujours plus petits que le cylindre de même hauteur. Mais le minimum de a^ est différent suivant que h est plus petit ou
2r V^ plus grand que — ^ — , il est 6[dans le premier cas, et d dans
le second. Quand h est égal à — - — r ^ ^ ^st égal à 6 et les
deux minima n'en font plus qu'un seul.
Voyez le problème IV, chapitre suivant.
EXERCICES SUR LE CHAPITRE Vill.
IVotatlons et observations diverses. — Les lettres B. OU
C. placées entre parenthèses à la suite d'un énoncé, veulent dire que la question a été proposée au Baccalauréat ou au Concours. — tin numéro -à la suite de l'énoncé d'un problème renvoie au problème résolu qui a le plus d'analogie avec lui. — Les problèmes proposés doivent être discutés complètement, et les maxima et minima, quand il s'en rencontre, doivent être trouvés comme un simple détail de la discussion. — Lorsqu'on pourra obtenir directement les maxima par l'étude de la variation d'une fonction, on devra toujours le faire et vérifier ensuite les résultats de la discussion directe.— l.es problèmes qui suivent ont été rangés par ordre de difficulté croissante, les premiers s'adressant spécialement aux élèves de Seconde et de RhûLorique.
l . Calculer les rayons de base d'un tronc de (ône circonscrit à une sphère de rayon donné, sachant que le rapport de la surface totale du tronc à la surface de la sphère est égal à un nombre donné m (B.).
2. Inscrire dans un hémispliôre donné un tronc de cône dont le volume soit dans un rapport donné avec la sphère qui a pour diamètre la hauteur du tronc (B.).
3. Étant donnée une sphère, on la coupe par un plan, et on détermine le cône de révolution qui lui est tancent le long de la section, ainsi qu'une sphère tangente à la première et au cercle de section en son centre : on demande, à quelle distance du centre de la sphère donnée, le plan sécant doit être mené, pour que le rapport du volume de la seconde sphère à celui qui est compris entre la première sphère et le cône soit égal à un nombre donné m (G.).
4. Calculer les rayons de bases d'un tronc, lorsqu'on connaît la I surface totale du tronc et la longueur de l'apothème, et que Ton sait ! que cette droite fait un angle de 60" avec la base inférieure (B.).
5. Étant donnés une tangente AG à un cercle et le diamètre } perpendiculaire AB, on propose de mener une corde DE perp9ndicu- \ laire à la tangente AG, telle que le triangle AEÛ en tournant autour 1 de la tangente AG engendre un volume donné (Saint-Gyr). j
6. Étant donnés un cercle et trois tangentes, dont deux sont perpendiculaires à la troisième, on propose de- mener une quatrième tangente, telle que le tronc de cône engendré par la rotation de la figure autour de la troisième tangente ait un rapport m avec la sphère qui a même rayon que le cercle donné.
7. Un triangle ABG étant donné, on propose de le couper par une droite DE parallèle à l'un des côtés BG et telle, que le volume engendré par le triangle tournant autour de ce côté soit double du volume engendré par le triangle ADE ou le trapèze BGDE.
— On prendra pour inconnue la dislance de la parallèle au rnilieu de la hauteur qui correspond à BG.
8. Eu un point A d'un cercle donné on mène une tnngente indéfinie, et on ] ropose de trouver sur cette droite un point B, tel que, si, de ce point, ou mène une seconde tangente BG, et que l'on fasse tourner la figure autour du rayon OA, le volume engendré par la surface plane ABG comprise entre les deux tangentes et l'arc BG soit égal à une sphère donnée (Voyez Queslions de Géométrie, page 100).
9. Couper une sphère par un plan, tel que Taire de la section ait un rapport donné m avec la moyenne géométrique des surfaces convexes des deux cônes droits, qui ont pour base commune la section et dont les sommets sont sur la sphère.
10. Trouver sur la ligne des centres 00' de deux cercles donnés qui ont même rayon, "un point A, tel que, si de ce point on tire les tangentes AB, AB' et les rayons OB, O'B' et qu'on fasse tourner les triangles AOB, AO'B' autour de 00', la somme des volumes engendrés par la révolution complète des deux triangles soit égale à un volume donné.
356 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIKE.
11. Calculer les rayons des bases d'un tronc de cône droit, circonscriplible à une sphère, connaissant son Yoiume et sa surface totale.
12. Étant donnés une spbère et un cône de révolution inscrit dans cette sphère, on propose de mener un' plan parallèle à la base du cône, à une distance de celte base, telle que la différence des sections faites par le plan dans les deux solides soit égale à une surface donnée.
13. Dans un demi-cercle terminé par le diamètre AB, on inscrit un rectangle DEFQ, et on construit un triangle DEG, qui a pour base le côté DE parallèle au diamètre AB et dont le sommet G est situé sur la demi-circonférence. On demande que le rectangle soit tel que, si Ton fait tourner la figure autour de AB, les volumes engendrés par le rectangle et le triangle soient égaux (B.).
14. Étant donnés le rayon r de la base d'un cône et sa hauteur hy à quelle distance x du sommet, faut-il mener un plan parallèle à la base, pour que le volume du tronc soit égal à deux fois celui de la sphère qui aurait x pour diamètre (B.).
15. Étant donnés un demi-cercle AGB et une tangente AD à l'extrémité A du diamètre AB, on propose de mener par l'autre extrémité B une droite BGD qui coupe la tangente en un point D, tel que, si l'on fait tourner la, figure autour de AB, la surface du cercle engendrée par AD soit égale à la zone engendrée par l'arc BG.
16. La hauteur, l'un des rayons de base d'un tronc de cône et son volume sont donnés : on demande de calculer le rayon de l'autre base.
17. Étant donnés un demi-cercle et une tangente AD à l'extrémité A du diamètre AB, par un point G pris sur la demi-circonférence, on mène une tangente CD et on la prolonge jusqu'à sa rencontre en D avec la première tangente ; on fait ensuite tourner la figure autour de AB. On demande de déterminer le point G, de telle manière que la zone engendrée par l'arc BG soit égale à la somme des surfaces engendrées par les tangentes AD et GD.
18. Gouper une sphère par deux plans parallèles dont la distance est donnée, de telle sorte que, si l'on circonscrit à la sphère deux cônes de révolution ayant pour bases les sections faites par les deux plans, la somme des surfaces latérales des cônes et de la zone comprise entre les deux plans parallèles soit égale à un cercle donné.
19. Une droite AX laisse d'un môme côté le carré ABGD qui a un sommet A commun avec elle : on propose de construire sur le côté BG, comme base, un triangle isocèle GBE, tel que le volume qu'il engendre dans la rotation de la figure autour de AX soit égal au volume engendré par le carré (G.).
20. Gouper un prisme triangulaire par un plan de manière que la
section soit semblable à un triangle donné. Cas du triangle équilatéral.
21. Partager un tronc de prisme oblique en deux parties équivalentes par un pian passant par Fune des arêtes latérales (G.).
22. Étant donné un demi-cercle terminé par le diamètre AB, on mène au point A une tangente AG égale au rayon du cercle et on tire une droite (]D qui coupe au point D le diamètre AB ou son prolongement. On fait ensuite exécuter à la figure une réyolution complète autour de AB, et alors le demi-cercle et le triangle AGD engendrent une sphère et un cône : on demande à quelle distance de la base du cône un plan parallèle à cette base doit être mené pour que la somme des sections faites dans les deux solides par le plan soit égale à un cercle donné.
23. Étant donnés un triangle ABG et une droite AX passant par son sommet A et le laissant d'un même côté par rapport à elle, on propose de mener une droite AD qui rencontre le côté BG en D, telle que le volume engendré par le triangle ADB dans la rotation de la figure autour de AX soit la moitié du volume engendré par le triangle donné.
24. Trouver les côtés d*un triangle rectangle, sachant que le volume engendré par ce triangle en tournant autour de son hypoténuse est égal au volume d'une sphère donnée et que la somme des volumes qu'il engendre en tournant successivement autour de chacun des côtés de l'angle droit est égale au volume d'une autre sphère donnée
25. Étant donnés sur une droite indéfinie XY deux points A et B dont la dislance est a, on propose de trouver sur la même droite un troisième point G, tel que la longueur AG soit moyenne proportionnelle entre CB et une longueur donnée b. — Gas particulier où b est égal à a.
— Voyez une solution et une discussion géométriques {Qmstions de Géométrie^ page 224).
26. On sait que, si dans un parallélogramme on mène les bissectrices des angles, la figure formée par la rencontre des quatre droites est un rectangle. Le rapport m de la surface de ce rectangle à celle du parallélogramme étant donné, on propose d'en déduire le rapport des deux côtés du parallélogramme.
27. Interpréter la solution négative dans les deux cas du problème I (246).
28. piscuter le problème de Pappus en prenant pour point de départ chacune des solutions qui ont été données (253).
29. Inscrire dans un cercle donné un triangle isocèle, connaissant la somme ou la différence entre la base et la hauteur.
— La différence entre la base et la hauteur devra être prise dans les deux ordres différents. On verra alors que le problème est résolu par deux équations distinctes. — Voyez une discussion géométrique (Questions de Géométrie, page 244).
30. Calculer la base et le côté d'un triangle isocèle^ connaissant les rayons du cercle inscrit et du cercle ex-inscrit compris dans l'un des angles égaux.
31. Calculer la base et le côté d'un triangle isocèle, connaissant le périmètre et la somme de la base et de la hauteur.
32. Calculer la base et le côté d'un triangle isocèle, connaissant la médiane et la hauteur partant d'un des angles égaux.
33. Étant donné un carré, par deux des sommets opposés on mené deux droites parallèles, puis des deux autres sommets ou abaisse des perpendiculaires sur ces deux droites: les quatre droites ainsi déterminées forment un carré. On demande quelle doit être la direction des deux premières. droites, pour que le rapport de la surface du second carré à celle du second soit égal à un nombre donné m. — On
examinera le cas particulier où m est égal à - . •
— On prendra pour inconnue la longueur du segment déterminé par l'une des quatre droites sur l'un des côtés du carré donné. (Voyez l'exercice (25) du chapitre IX).
34. On donne les hauteurs de deux cylindres droits et circulaires, ainsi que leurs surfaces latérales et leurs volumes, et l'on demande de calculer les rayons des bases dans les deux cylindres (B.).
35. Calculer les longueurs de deux cordes parallèles d'un cercle donné, connaissant leur somme et leur distance.
36. Dans un triangle isocèle on donne le périmètre et la somme des deux côtés égaux et de la hauteur qui correspond à la base : on demande de calculer la base et le côté du triangle.
37. (^ialculer la base et le côté d'un triangle i&ocèle, connaissant le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle ex-inscrit qui est compris dans l'angle opposé à la base.
38. Calculer la base et le côLé d'un triangle isocèle, connaissant la hauteur et le rayon du cercle inscrit.
39. Calculer la base et le côté d'un triangle isocèle, connaissani les rayons des cercles circonscrit et inscrit.
40* Calculer les trois côtés c'un triangle rectangle, connaissant le périmètre et la hauteur qui correspond à l'hypoténuse (Problème JI (100)). •
41. Calculer les trois côtés d'un trangle rectangle, connaissant la bissectrice de l'angle droit, et le rayon du cercle inscrit ou le rayon du cercle ex-inscrit qui est tangent à l'un des côtés do l'angle droit (P. m (100)).
42. Calculer les trois côtés d'un triangle rectangle, connaissant son. périmètre et le volume qu'il engendre en tournant autour de son hypoténuse (P. II (100)).
43. Calculer les trois côtés d'un triangle rectangle, connaissant la longueur de ia bissectrice de l'angle droit et la somme des côtés qui comprennent cet angle.
44. Connaissant l'hypoténuse d'un triangle rectangle et la longueur de la bissectrice d'un des deux angles aigus, calculer les deux côtés de l'angle droit.
45. Un cercle étant tangent aux deux côtés d'un angle droit, on propose de mener une tangente au cercle qui forme avec les deux côtés de l'angle droit un triangle de surface donnée. — (On distinguera deux cas.) (P. II (100).)
46. Connaissant l'hypoténuse d'un triangle rectangle et ia somme des côtés de l'angle droit et de la hauteur, on propose de calculer les deux côtés de l'angle droit (247).
47. On donne le périmètre d'un triangle rectangle et ia somme ou la différence des surfaces engendrées par chacun des côtés de Tangle droit tournant autour de l'autre côté: on demande de calculer les trois côtés.
48. Calculer les trois côtés d'un triangle rectangle, lorsqu'on connaît la somme des deux côtés de l'angle droit et la somme des projections de la hauteur sur ces côtés.
49. Calculer les trois côtés d'un triangle rectangle, connaissant le périmètre et la somme des deux côtés de l'angle droit et de la hauteur.
50. On donne deux cercles et 0' et un point A sur la ligne de leurs centres; de ce point comme centre, on décrit un cercle qui coupe les deux premiers en B et B', puis on fait tourner le secteur circulaire BAB' autour de 00'. On demande de trouver quel doit être le rayon AB du troisième cercle, pour que le secteur sphérique engendré ait un volume donné.
51. Deux cônes de révolution, ayant des hauteurs égales et dirigées suivant la même droite, sont tels, que le sommet de chacun d'eux coïncide avec le centre de la base de l'autre ; on propose de couper lafigure par un plan parallèle aux bases, de manière que la différence des sections faites dans les deux solides soit égale à un cercle douné. (Les deux nappes de chaque cône sont supposées être tracées.)
52. Calculer la base et le côté d'un triangle isocèle, connaissant les distances du centre du cercle inscrit au<;enlre du cercle circonscrit el au centre de gravité du triangle.
- - Les formules seront différentes suivant ([ue la base sera plus grande ou plus petite que la hauteur.
53. Déterminer un quadrilatère dont on connaît les quatre côtés.
sachant que ses côtés opposés se croisent et sont tangents à un cercle de rayon donné.
— On fera voir que le théorème du n* (257) relatif au quotient —y
cet
est toujours vrai, et que les deux sommes a-fd et b-\^ sont égales.
54. Étant donné un demi-cercle AGfi et deux tangentes AD et BG aux extrémités du diamètre AB^ on mène une troisième ^tangente GD qui coupe les deux premières en G et D, et on joint par des droites les points G et D à un point iîxe E du diamètre AB. On demande quelle doit être la troisième tangente GD pour que le triangle DGE ait nne surface donnée.
55. Dans un trapèze isocèle etcirconscriptibleàuncercle, on donne le côté différent des bases et le rayon du cercle circonscrit : on demande de calculer les deux hases et le rayon du cercle inscrit.
56. Connaissant le périmètre, la surface, et la hauteur d'un trapèze isocèle, on propose de calculer ses côtés.
57. Un solide est formé d'un cylindre droit et circulaire et de deux cônes de révolution qui ont respectivement pour bases celles du cylindre; on sait, de plus, que les surfaces convexes des trois solides sont tangentes à une même sphère de rayon donné, et l'on donne la distance des sommets des deux cônes : on demande quelles doivent être les distances de ces sommets au centre de la sphère pour que le volume du solide total soit égal à un volume donné.
58. Étant données deux sphères, on les coupe par un plan parallèle à la ligne des centres, et sur les deux sections comme bases, on construit deux cylindres droits ayant pour hauteur commune la distance de la ligne des centres au plan: on demande quelle doit être cette distance pour que la somme des volumes des cylindres soit égale à une sphère donnée.
59. On remplace dans l'énoncé précédent la somme des volumes des cylindres par la différence de leurs surfaces totales,
60. Par deux points donnés mener une circonférence tangente à une circonférence donnée.
— Soient G et r le centre et le rayon du cercle donné, le centre du cercle demandé, A et B les deux points donnés : on tire la droite indéfinie AB, on abaisse GE perpendiculaire sur sa direction et on prend le milieu F de la distance des deux points A et B. On pose en- 'suite
AB = 2a, CE = d, EF=^ Ok = x, 0¥ = y, 61 -1- (i« — r« — a» = ± (?• et Ton trouve pour équation du problème
4(d* — r*]x^ ± ^rc*x — c* — 4a*d« = 0.
On est conduit à distinguer deux cas suivant quer» est inférieur ou égal à d\ ou bien lui est supérieur. Dans le second cas, on pose r«-rf«
égal à es et on décompose la quantité sous le radical en uq produit de deux facteurs :
61. Par un point A pris dans le plan d'un cercle donné, on mène deux droites rectangulaires BAC, EAD, et on tire la droite BD qui joint deux des points d'intersection : on demande de déterminer la position des deux droites rectangulaires pour laquelle la corde BD a une longueur donnée.
— On prendra pour inconnues xeiy les deux segments AB et AD, et Ton démontrera par la Géométrie que, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que xety soient réels et positifs.
62. Étant donné un triangle, on propose de déterminer deux cercles, dont la somme des rayons soit connue et qui soient tangents extérieurement Tun à l'autre en môme temps qu'ils touchent deux des côtés du triangle.
63. Calculer les trois arêtes d'un parallèlipipède rectangle dont la surface totale et la diagonale sont données, sachant que l'une des arêtes est moyenne harmonique entre les deux autres.
64. Inscrire dans un cercle donné un trapèze, connaissant sa surface et la longueur du côté différent des bases.
65. Calculer les trois côtés d'un triangle rectangle, connaissant sa surface et le rayon du cercle inscrit ou du cercle ex-inscrit qui est compris dans l'un des angles aigus.
66. Étant données deux droites parallèles et une droite indéfinie qui les rencontre, on propose de mener, par un point pris sur l'une des parallèles, une droite qui coupe la première transversale, de manière que la somme ou la différence des triangles formés par les parallèles et les deux transversales soit égale à une surface donnée.
67. Calculer les côtés d'un trapèze inscrit dans un cercle donné, connaissant sa hauteur et la somme des carrés de ses côtés (262).
68. On donne .deux circonférences concentriques, et un rectangle semblable à un rectangle donné doit avoir deux sommets sur l'une des circonférences et les deux auires sur l'autre: on propose de calculer les deux côtés du rectangle.
69. Étant donné un triangle ABC, rectangle en A, on propose de mener dans Tintérieur de l'angle A une droite DE qui soit partagée en deux parties égales par la hauteur AH et qui soit telle, que sa longueur soit égale à la somme des perpendiculaires abaissées de ses extrémités sur l'hypoténuse BC. — On calculera les deux perpendiculaires.
70. Étant donnés deux cercles, on propose de trouver sur la ligne des centres un point, tel que la somme ou la différence des tangentes menées de ce point aux deux cercles soit égale à une longueur donnée (261).
