CHAPITRE IX

VARIATION DES FONCTIONS. - MAXIMA ET MINIMA. — LEUR APPLICATION DANS LA DISCUSSION DES PROBLÈMES. — THÉO- RÈMES GÉNÉRAUX. - EXERCICES.

)M8. Problème I. — On suppose que dans le problème ÇiW, 259), au lieu de donner la force P, on demande de trouver sa valeur minima quand on fait croître la distance OB à partir de OA.

On a vu (259) qu'en désignant par x la distance OB, on avait Téquation

6ic*-2Pa? + 2Rd=0.

On en tire

-^ bx , Rd

et l'on est ramené à la discussion d'une fonction de la forme

k X -| (130). Si Ton fait croître a?. depuis zéro jusqu'à l'infini,

■ . La fonc-

P décroîtra dequisTinfinijusqu'à un certain minimum \] 2Rbd

qui correspond à une valeur de x égal à \/ .

tion croîtra ensuite depuis le minimum jusqu'à Tinfini. Mais

pour que \/2RW soit le minimum de P dans la question de mécanique, il faut que Ton ait

/ 2Rrf ^ . „ ^ èd

/__>d ou R> —

On est ainsi conduit à distinguer deux cas, suivant que R est plus grand ou plus petit que

Premier cas* — R ]>"

bd

! hfi

\ La force P décroît depuis sa valeur initiale H -| — ^ correspondant à x égal à d, jusqu*à un minimum v^ 2R6d pour x

■ / 9TÎ ri

I égale à 1/ ,c*est-à-direqu'elledécroit,depuislamoyenne

1 arithmétique entre 2R et èd jusqu'à la moyenne géométrique i entre ces deux quantités. Lorsque x croît ensuite à partir

I de \/ — ~ , la force P croît jusqu'à Tinfini.

Deuxième cas« R <C .

Alors la valeur initiale de or, qui est d^ est supérieure à la valeur 1 / — — pour laquelle a lieu le minimum de la fonction algébrique : donc (259) la force P ira constamment en croissant lorspue x croîtra â partir de d, et le minimum de la force P aura lieu quand cette force sera appliquée au point B.

Si la force R était égale à —^ , les deux valeurs de a?, d et

9Rr/

-7 — , deviendraient égales, et les deux minima n'en

feraient plus qu'un seul.

On peut maintenant retrouver tous les détails de la discussion du problème IV, (259).

1** R < — ^ . La force P est égale ou supérieure à R -|-

et ne passe qu'une seule fois par la même valeur. On voit alors que, lorsque la force donnée P sera égale ou supérieure

à R -| — — -, le problème aura une solution, et qu'il sera impos-

sible lorsque la force P sera plus petite que R + — - .

2° R = -T- . — Les conclusions sont les mêmes que dans le cas précédent.

3*^ R > -^ . La fonction P passe deux fois par les valeurs

comprises entre }j2Rbd et R + -ô" ^* "^® sexué fois par les

h/1 valeurs supérieures à R + -^ . Donc, lorsque la force donnée

sera comprise entre les moyennes géométrique et arithmétique des quantités 2R et 6d, le problème aura deux solutions, il

n'en aura plus qu'une lorsque la force P sera plus grande que

bd R -j- -^ , et il sera impossible lorsque la force P sera plus

petite que v/2R6d.

La vérification, comme on le voit à la simple inspection des tableaux (259) est maintenant complète.

964. Problème IL — On coupe une sphère par un plan et on circonscrit un cône de révolution le long de la section : on demande d'étudier la variation de la somme de la surface du cône et de m fois la surface de la zone qui a pour base la section et qui est extérieure au cône.

En résolvant par rapport à 2a l'équation (2) du problème VI (261), on trouve

2a= 2mr + (2m- 1) (x +— — îl-).

La quantité 2a est proportionnelle à la surface qu'il s'agit de discuter, et si l'on pose

on voit qu'on est ramené à étudier la variation de u. Deux cas sont d'abord à distinguer, suivant que m est plus

petit ou plus grand que -^ •

Premier cas. — m ^:

Alors A; est négatif, et on sait (129) que, si k croît de zéro à l'infini, la fonction u croît depuis — ao jusqu'à -f-oo . Mais a?,

dans la question de géométrie, croît depuis jusqu'à r, la fonction u ira donc constamment en croissant, et comme elle est retranchée de 2mr, puisque le facteur 2m — 1 est négatif, la surface dont on étudie la variation diminuera, depuis Tinâni, valeur qu'elle prend quand le plan sécant passe par le centre de la sphère, jusqu'à la valeur Amitr* qui correspond au cas où le plan devient tangent à la sphère.

La conclusion resterait encore évidemment la même^ si m

était égal à — .

DeuiLtême en»* — m ^ — .

Alors k est positif et, l'on sait (134) que, lorsque x croît de-, puis jusqu'à -|- o6 , la fonction u décroit depuis + oo jusqu'à

un minimum 2 ^k qui correspond à x égal à v/fc, puis, qu'elle croît,depuis Zyjk jusqu'à + oo , pour les valeurs de x croissant depuis V* jusqu'à -|- oo . Mais, pour que le résultat puisse s'étendre à la fonction géométrique, il faut que }Jk soit plus petit que r. En écrivant qu'il en est ainsi, on a

r T < 1-^ OU m>\ ,

on est donc conduit à subdiviser le cas actuel en deux autres, suivant que m est plus grand ou plus petit que 1 . 1° m > 1. — Alors la somme passe par une valeur minima

qui correspond à une valeur de x égale à — i=ziiz=:

2* -^< m < 1. — La fonction u n'atteint maintenant son

minimum que pour une valeur de x supérieure à r. La somme des deux surfaces va donc constamment en décroissant, lorsque le plan sécant, qui passe d'abord par le centre de la sphère, s'en éloigne, de plus en plus, jusqu'à la position limite où il devient tangent à la sphère. La conclusion serait la même si m était égala l,eton remarque encore que c'est aussi celle à

laquelle on est arrivé pour m inférieur ou égal à à — .

Vérification des résultat» de la discussion du problème (V, 260). — On distingue deux cas, suivant que m est plus petit ou plus grand que 1 .

1' wi < 1. — La somme des deux surfaces ne passant qu'une seule fois par les valeurs comprises entre l'infini et 4w7rr*, le problème n'aura jamais qu'une solution, et à la condition que la somme donnée sera au moins égale à m fois la surface de la sphère.

2*^ wi > 1 . — La somme des deux surfaces passe deux fois par les valeurs comprises entre le minimum et m fois la surface de la sphère, et une seule fois entre cette dernière valeur et Tinfini. Le problème aura donc deux solutions lorsque la somme donnée sera comprise entre le minimum et m fois la surface de la sphère, et il n'aura plus qu'une seule solution lorsque la somme donnée sera supérieure à m fois la surface de la sphère. Il n'y aura plus d'ailleurs de solution lorsque la surface donnée sera inférieure au minimum.

Les tableaux du n° 260 montrent l'accord des résultats.

tG6. Problème III. — Étudier la variation du volume d'un tronc de cône^ dont la hauteur h est constante et qui est inscrit dans une sphère donnée de rayon r.

En résolvant par rapport à 4a* l'équation (5) du problème VII (262), on a

et si Ton pose

, . 12/iV«

on est ramené à discuter une fonction de la forme x -\ — '- .

On sait que, z croissant depuis jusqu'à y 2rh yj^ , la fonction u diminue depuis l'infini jusqu'à un certain minimum,

puis, que z croissant depuis \ 2rh}j3 jusqu'à l'infini, la fonction u croîtra depuis sa valeur minima jusqu'à l'infini. Mais, dans la Question de Géométrie, z est une variable comprise entre h et 2r, et pour que la fonction u ait le même

minimum, il faut que la quantité y 2r/i \]~3 soit plus grande que h et plus petite que 2r. La première condition est .toujours satisfaite, maispour queja seconde le soit aussi, il faut que h

2r V 3 soit plus petit que —^ : on est donc conduit à distinguer

deux cas.

VARIATION DES PONCTIONS. 367

Premier cas. — " ^ ô •

Alors, quand s croît, depuis h jusqu'à y ^^^^ V 3 , le volume du tronc diminue jusqu'à un certain minimum, puis il croît, à partir de cette valeur, jusqu'à un certain maximum quand z

croît depuis y 2''/i yT jusqu'à 2r.

DeaiLtéme cas* — /l ^ r .

La valeur y irh V 3 étant maintenant supérieure à 2r, lorsque z croît de h à 2r, la valeur, à laquelle correspond le minimum précédent, n'est pas atteinte, et le volume décroît constamment. La conclusion serait évidemment la même si h

2r yj^ était égal à i^-^— , car le minimum est -atteint, mais n'est

pas dépassé.

Rëmabque. — Dans le cas où h est inférieur à

le volume du tronc a deux maxima qui correspondent respectivement aux valeurs h et 2r de 2, et le second maximum est toujours plus petit que le premier; mais il est plus grand ou

plus petit que le volume du côrie qui a pour apothème \f2rh^

suivant que h est plus petit ou plus grand que -^r. Gela résulte de la comparaison qui a été faite au n° 262, des quantités désignées par e, c, d.

Vérification des résultats de la discussion du problème VII, (262). — Pour plus de clarté, nous construisons d'abord les courbes qui représentent la variation de a* dans les deux premiers cas.

On aies courbes fig. (41) ou fig. (42), suivantque h est plus

2 2 2r \l^ petit que -jr-r on compris entre — r ^\ . Les abs-

cisses OA, OC, CE, OG sont les valeurs de z égales respectivement à h, yJYrhy \/ Wi V 3 , 2r et les ordonnées AB, CD, EF, GH sont les valeurs correspondantes de a* qui ont été désignées dans le n*> 262 par e, c, b, d. Dans la figure (41),

Tordonnée HG étant plus grande que CD et plus petite que AB (262), la parallèle LH à OG rencontre la courbe en un point L situé entre D et B, et si du point L on abaisse LM perpendiculaire sur OG, le point M tombe entre A et G. De même, une parallèle DK à OG rencontre la courbe en un point K entre F et U, et le pied I de Tordonnée de ce point est situé entre E et G. On fera une construction analogue dans la figure (42), et on obtiendra deux points, l'un L sur la courbe entre F et D, Tautre M sur OG entre E et G.

2r v^ Lorsque h est plus grand que ^ — , l'ordonnée de la

courbe qui représente la variation de a' va constamment en diminuant, il est donc inutile de tracer cette courbe.

On peut maintenant retrouver tous les détails de la discussion du problème VII (262) : d'après ce qui vient d'être dit, on est conduit à considérer plusieurs cas.

!• /i < — r. — Voici les résultats auxquels conduit la vue o

de la courbe (41) : si a^ est compris entre e et d^ le problème a une solution du premier genre ; si a* est compris entre d et c, le problème a une solution du premier genre, qui correspond aux points de la courbe situés entre L et D, et une solution du second genre, qui correspond aux points de la courbe situés entre K et H ; quand a^ est compris entre c et 6, le problème a deux solutions du second genre ; ces deux solutions se réduisent à une solution double quand a^ est égal à h ; enfin le problème est impossible quand a^ est plus petit que b ou plus grand que e.

Ces résultats sont d*accord avec ceux du premier tableau (page 351).

2» y r < ft < — ^ — . — C'est le cas de la figure (42). Si

a* est compris entre e et c, le problème a une solution du premier genre ; si a* est compris entre c et d, le problème a une solution du second genre ; si a* est compris entre d et &, le problème a deux solutions du second genre : les deux solutions se réduisent à une solution double quand a* est égal à b. Enfin, comme dans le cas précédent, le problème est impossible quand a^ est plus petit que b ou plus grand que e.

La vue du second tableau (page 353) montre l'accord des résultats.

3** A > — - — . — Dans ce cas, Tordonnée de la courbe décroît depuis e jusqu'à d. On en conclut que le problème n a jamais qu'une solution, qui est du premier genre lorsque a* est compris entre e et c, et qui est du second genre lorsque a* est compris entre c et d. Le problème est d'ailleurs impossible quand a^ est plus petit que d ou plus grand que e.

Cette dernière discussion confirme encore les résultats du troisième tableau (page 353) (*).

toe. Problèmb IV. — Étant donnés quatre points ^ ligne droite o, a, b, c ; on demande de trouver sur la même droite

' * ^ * 1 I *'*j moxmc un pomt m, tel que la quantité r- soit maxima ou

maXmb minima, (Apollonius).

Premier cas «le fleure. — Le segment ab est intérieur au segment oc (fig. 25). Soient a, b, c les distances oa, ob, oc, X la distance om, et y la fonction dont il faut étudier la variation : on a

Cette équation sera générale, quelle que soit la position du point M à droite de O, si Ton considère les produits mo X me et ma x m&, comme ayant le signe -f- ou le signe — , suivant que les points o et c, ou les points a et b^ sont d'un même côté ou de part et d'autre du point m. C'est la règle ordinaire en géométrie, et quand nous demandons le maximum ou le mini-

moxmc ., ^u- * j 1» ^- *

mum de r- , il est bien entendu que 1 on tient compte

m^Xmb

à la fois de la grandeur et du signe.

Pour résoudre la question, nous allons employer la méthode

du n® 131, c'est-à-dire ramener l'étude de la variation de j/ à

k celle de la variation d'une fonction x -\ . On a

(*) Pour suivre plus facilement la discussion, les élèves feront bien de mettre sur les ordonnées, dans les 6gures (41) et (42), les lettres l>, e, d, e, qui les désignent.

ab

y=y+ 12 /^ ■ L^ j ^A =i+(^+ft-g)

et si Ton pose

et que Ton divise les deux termes de la fraction obtenue par x', il vient

, , cP — (a4-b)x + ab , ^ .

Mais on a

ab[c — a)[c — b)

on est donc ramené à étudier la variation de la fonction u définie par l'équation suivante :

, , abic ---a) [c — 6)

{a-^-b — &fc'

La distance c pourrait être plus grande que a -{-b^ow^c^ qui revient au même, le segment ac pourrait être plus grand que ofc. Mais il est clair qu'alors il suffirait d'intervertir le rôle des deux points et c, c'est-à-dire qu'on prendrait le point pour origine des distances et que l'on appellerait^ la distance cin^ le point m ayant une position quelconque à gauche de c. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité de la solution, supposer c plus petit que a -f- 6. On pourrait suivre la variation de la fonction w, mais nous remarquerons seulement ici qu'elle passe par un minimum et un maximum pour des valeurs de X* que nous désignerons respectivement par x\ et x\.

Ces valeurs sont données par les formules suivantes :

(3) ^K= \aJ\ ^ (4) ^2

^^^ ^2î 1/0 Va i^^présentant les valeurs de or et y qui correspondent à x\ et ar'2, on aura par un calcul facile

{\l b{c-a)- \l a(c^b)f ,. {\lW^)+sh^îfi-S))^ ^' [a-bf ' y^— (^=6jâ •

Soient m^ et mg les deux positions du point m données par les valeurs x^ et (Tj de x. On voit d^abôrd que d est plus grand que c, et comme rr^, qui est égal à d -\- x\^ est plus grand que £?, le point m^ est à droite du point c. Quant au point m^, il est toujours situé entre a et 6 parce que, comme le montre un calcul très-simple, x^ est toujours plus grand que a et plus petit que 6.

Interprétation géométrique de la solution* — Il résulte de ce qui précède que, pour obtenir les deux points m^ et m^ on doit prendre un point i à droite du point et à une distance de ce point égale à d (on suppose que est l'extrémité extérieure de celui des deux segments ob et ac qui est le plus grand), puis, qu'on doit porter à droite et à gauche du point i

deux longueurs im., inu égales àl / — (g ''a)[C'- ) ^ ^^.^

si Ton compare les formules (1) et (3) aux formules (2) des n°' 210 et 211, on voit que le point i est le centre d'une involution dont les quatre points 0, a, 6, c font partie, et que les points ///, el m,2 sont les points doubles de cette involution.

oeuxièmo en» «le figure. — Les deux segments oc et ab sont extérieurs l'un à l'autre (fig. 26). On a les mêmes calculs que dans le premier cas. Seulement comme les différences c — a et c — b sont actuellement négatives, en posant les mêmes inégalités que dans le premier cas, on trouve que om^ est plus grand que oa et plus petit que ob et que 0W2 est plus petit que oc. Alors le point m^ est situé entre a et 6, et le point 7^2 entre et c. Les valeurs de y^ et yg ^^^ aussi toujours la même forme algébrique, mais on écrit maintenant

L'interprétation géométrique est lamême que dans le premier cas.

Troisième cas. «le fleure. -^ Les segmcnts OC et ab empiètent Tun sur Vautre (fig. 27). Alors, comme les quantités

372 QUESTIONS D'ALGÊBRl:) ÉLÉMENTAIRE.

c — a et c— & sont de signe contraire, la quantité qui est ordinairement représentée par k est négative, et il n'y a, comme on sait, ni maximum ni minimum.

Tous les résultats que nous avons trouvés par TAlgèbre ont été obtenus par M. Ghasles à l'aide de la Géométrie (Voyez le Traité de Géométrie supérieure, page 208 et suivantes).