QUELQUES REMARQUES SUR LA FRACTION

ax^ -\-bx -]-c a'x*+b'x + &'

969. Les problèmes, qui ont été discutés dans ce chapitre, se ramènent tous à Tétude de la variation de la fraction précédente,

k ou de la fonction x-A à laquelle on peut toujours la rameur

ner. Mais le dernier problème conduit très-simplement à quelques théorèmes généraux sur la fraction.

Posons

ax* -|- to -f-

et soient a et j3 les racines du numérateur, a' p' celles du dénominateur : on pourra écrire

(1) y = ':TX

Supposons d*abord les quatre racines réelles, et soient oa^ oh, oa\ 0^, quatre longueurs, comptées sur une même droite, qui les représentent respectivement. Si Ton prend sur la même droite un point m quelconque, les facteurs x — a, x — p, X — «', œ — p' représenteront les distances ma, mb, ma', mb'

en grandeur et en signe, et si Ton désigne —y par p, on aura

maXmb y = px

ma'xmb'

L'étude de la variation de y se trouve donc ramenée à celle

de la fraction -, rr <ïui n'est autre que celle du pro-

ma'xmb' ^ r

blême précédent comme on le voit en remplaçant o, c, a, 6,

respectivement, par a, b, a', b'.

On a vu, en particulier, qu'il n'y a ni maximum ni minimum pour la dernière fraction, quandles deux segments oc et afc, ici, aa' et bb\ empiètent l'un sur l'autre, c'est-à-dire quand a' est situé entre a et fe et 6 entre a' et b. Donc la fraction y n'a ni maximum ni minimum, lorsque les racines des trinômes, qui forment ses deux termes, sont réelles et qu'une racine de chacun d'eux est comprise entre les racines de l'autre. Dans tout autre cas où les racines sont réelles, la fraction a un maximum et un minimum.

S69. Le cas des racines imaginaires échappe à la méthode précédente, mais je vais faire voir que, si l'un des deux trinômes ou tous deux ont leurs racines imaginaires, y a toujours un maximum et un minimum.

On a vu (131) que y peut s'écrire ainsi ;

m et n étant deux constantes et x' une variable auxiliaire. D'ailleurs les racines de l'équation

(1) x'^'}'ex'-\-k =

sont réelles ou imaginaires en même temps que celles de l'équation

dont elles ne diffèrent que par une constante réelle.

Cela posé, supposons que les racines de l'équation (2) soient imaginaires. Il en sera de môme alors de celles de l'équatioQ (1), et, par suite, k ne pourra être ni négatif ni nul. Mais k étant positif, on sait que la fonction y a un maximum et un minimum.

La conclusion serait la même, si c'étaient les racines du numérateur qui étaient imaginaires, car on pourrait chercher les maxima et minima de la fraction renversée, et appliquer la même démonstration.

99IB. On a supposé, dans ce qui précède, que k n'était pas nul, mais on peut voir que, lorsque k est égal à zéro, la fraction y, simplifiée autant que possible, a ses deux termes du premier degré en x. Il en sera évidemment ainsi, si la même chose a lieu pour la fraction en x' considérée plus haut.

374 QUESTIONS D AliGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Or cette fraction, quand on y fait k égal à zéro, devient

— j^—r — j-ou ' ,. — après la suppression du facteur com-

muu af.

Les deux termes de la fraction y ne peuvent avoir de facteur commun qu'autant que les trinômes qui forment ses deux termes ont une racine commune, la condition que k soit égal à zéro doit donc être celle qui exprime que les équations

(1) ax2 + fear + c = 0, (2) a'x^ + ¥x-\-&=Q,

ont une racine commune. Or c'est ce que l'on vérifie facilement. En effet en développant les calculs du n*^ 131, on obtient

a'{ca'—ac'Y ^b\ca' — a&){aV—ha')-\-d{aV — ba'y

et en égalant le numérateur à zéro, on a bien la condition connue pour que les équations (i)et(2) aient une racine commune (Problème TII, 242).

Bemarque. — D'après la transformation du m 174, on a

.^. , {bV — 2{Ga' + ad)f — {b^ — Aac){b'^ — 4a V) ^ ^ ~ 4{ab' — ba')^

Mais le numérateur de &, étant égalé à zéro, donne la condition pour que la quantité désignée par jB* — 4AC (Pr. V, 128) soit nulle. On conclut de là que, dans la discussion que nous venons de rappeler, on aurait pu laisser de côté le cas où la quentité B* — 4AC est égale à zéro, ce cas ne devant pas se présenter, si la fraction y a été réduite à sa plus simple expression.

MO. En prenant la valeur de k donnée par la formule (3), on voit que y aura un maximum et un minimum, ou pourra prendre toutes les valeurs possibles, suivant que la quantité

{bb' - 2(ca' + ac'))* — (6* — 4ac) (fr'^ — iad), sera positive ou négative, c'est ce qui est encore conforme à ce qui a été trouvé (Problème V, 1 28).

Mi. némoiiAtrAtion ci*une ici«sntUi'. — On a VU (Problème IV, 266) que, lorsque y avait la forme

{x, — aO (iT, — 6J '

(Je mets a,, fr^, c^ au lieu de a, 6, c pour éviter la confusion des notations.) on obtenait la formule

m k— ^<^(^< —c^iliCi — b^)

Si l'on veut ramener à la jnême forme la fraction (^ «X^'-'P;

on posera œ égal àar^ -j- «î ^^ par le changement de variable, cette fraction deviendra

en l'identifiant avec la fraction (1) on aura

ai = a' — a, b^z=zp' -^a, C| = p — a.

Alors, en remplaçant dans l'équation (2) a|, 6^,04. par les valeurs précédentes, on obtient

ou encore après avoir substitué et à a 4- S et

à af-\-p'

a^fl^(« - gQ (ce -|50 (|3 - ccQ p - PO

(aô' — bay Si enfin on égale cette dernière expression de A; à l'expression (3) trouvée au n*^ 269, on obtient l'identité demandée

4a VV — aO (a — PO (p — «0 (p — p')

= (66' — 2(ca' + ae'))2 — (é^ iac){b'^ — 4a'c').

En prenant cette identité comme point de départ, M. Darboux, dans un très-intéressant article inséré dans les Nouvelles Annales (tome VIII, page 81), est aussi arrivé aux résultats qui sont développés dans les numéros précédents.

9G3. Sur le» limites de la variable indépendante dans l'étude de la variation des fonctions* ~ On a VU

par quelques problèmes, comment dans les questions de gôométrie, l'étude de la variation de la fonction est rendue plus difiicile à cause des conditions auxquelles la variable indé-

pendante est assujettie. Mais il peut même arriver, pour certains problèmes, que <)es conditions les fassent échapper aux méthodes élémentaires, dans lesquelles sans cela ils pourraient rentrer. C'est ce que je vais montrer en prenant pour exemple le problème suivant.

Problème. — Parmi toutes les cordes normales à V ellipse en rune de leurs extrémités, quelle est la plus petite ?

En appelant d la longueur de la corde, 2a et 2b le grand et le petit axe de Tellipse, et œ la longueur du demi-diamètre conjugué de celui qui passe par le pied de la normale sur la courbe, on démontre facilement que Ion a

Alors on est évidemment ramené à discuter la variation de la fonction u définie par l'équation suivante :

Mais si Ton pose

l'équation précédente devient (3) t^ = (a>-f &« — j/)j/2.

La fonction u variera en sens inverse de rf, et au maximum de u correspondra le minimum de d. D'ailleurs x est une variable qui ne peut prendre que des valeurs comprises entre 6 et a, et, par suite, la variable y croît depuis ft* jusqu'à a*.

D'après Téquation (3), on est ramené à trouver le maximum d'un produit de facteurs, dont la somme est constante et qui sont élevés à des puissances différentes. D'après la règle connue, on détermine y par l'équation

qui donne

l*j Voyez uù article de M. ponnet. Nouvelles Annales, tome U.

La valeur qu'on vient de trouver pour y est évidemment toujours plus grande que 6* ; mais pour qu'elle soit admissible, elle doit aussi être plus petite que a*. Or eu écrivant qu'il en est ainsi, on obtient

(5) a > 6 yjl

et cette condition peut ne pas être remplie.

On conclut du calcul précédent que, dans le cas où Tinégalité

(5) est satisfaite, il existe une corde minima qui correspond à

une valeur de y égale à — (a* + fe*). Mais quand au contraiie

a est plus petit que 6v^2, le minimum ne peut plus être trouvé par la méthode élémentaire.

Cependant, pour ne pas laisser une question inachevée, je vais employer pour résoudre complètement le problème, la méthode des infiniment petits dont j'ai déjà fait usage en Géométrie et en Trigonométrie (Voyez Questions de Géométrie, page 260) . ' ,

On a

En calculant les accroissements des deux quantités (a* +6^)2/* et 2/* correspondant à un même accroissement h de y, on obtient

(a« + 6ï)(2/jy + /i»), 3hy^ + ih^y + h^ ;

le rapport des accroissements est donc

(a*+fc^) {2hy +¥) 3hy^ + 3h^y + h^~ '

En supprimant le facteur commun /}, puis faisant h égala

2 (a* -1- 6*) zéro dans la fraction, on obtient — ^ — ^ — ^pour la limite du

3y mpport.

Si Ton donne d'abord à y sa plus petite valeur b^ on obtient 2(a« 4- 6«)

«T^ , quantité plus grande que 1. La fonction u commence donc par croître. Elle continue de croître tant aue la

2(a« + è*) fraction 5-^ ^restera plus grande que 1. Mais si Ton posQ

l'équatioa

On en tire y égal à -^ (c^'+t^), et on voit que, dès que y dé-

passe — (a'+&*)î la fonction cesse de croître pour décroître :

elle a donc passé par un maximum qui correspond à une valeur

de y égale à -ô" (a^ -j" ^*)î ^^ toutefois cette valeur est plus

petite que a*. C'est la même conclusion que tout à l'heure, et le maximum n*a lieu que si a est plus grand que b y 2. Supposons maintenant que a soit plus petit que 6 V 2.

y croissant, à partir de 6*, atteint la valeur a* avant la valeur -^ (^^+&'), qui dans le cas actuel est plus grande : la fonction

u n'a donc pas encore atteint son maximum algébrique lorsque y est égal à a^. Par conséquent, le maximum de la fonction w, et, par suite, le minimum de la corde correspond à t/ égal à a* oukx égal à a. Mais la variable o) étant égale à a lorsque la corde se confond avec le petit axe, on en conclut que, dans

le cas où a est plus petit que 6 V 2, la corde minima est le petit axe de Tellipse.