THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LES MAXIMA £T MINIMA
S98. Théorème I. — Lorsque la somme de n nombres x, y,
z est égale à un nombre donné a, la somme des produits r
àvde ces nombres est maœima lorsque tous les nombres sont égaux.
Il est évident que la somme des produits r à r a un maximum, puisqu'elle est moindre que le produit de a*" par le nombre des combinaisons de n lettres r à r. Je dis maintenant que, si deux nombres a?' et y de la somme donnée sont inégaux, on pourra toujours trouver une somme de produits ràrplus grande que la somme des produits r k r qui les contient. En effet, on peut écrire la somme des produits r hr qui contient les nombres inégaux œ et y, sous la forme Aory-^B{œ-\-y)']'G, A, B, C étant des polynômes indépendants de x et de y, mais contenant les autres lettres z,t , . , Mais si l'on remplace, dans
la dernière expression, x eiy par "t" , sans changer les
autres lettres, a? + 2/ et les polynômes A, B, G ne changeront pas, tandis que le produit xy prendra une valeur- plus grande.
On a donc bien obtenu comme on l'avait annoncé, une somme de produits plus grande que la première, et en achevant le raisonnement bien connu, on démontre le théorème énoncé.
2'9A. Théorème II. — La somme xV-f-x'^V étant constante^ le produit x^^j^" atteint sa valeur maxima, lorsque x etj satisfont à l'équation
Il 1 1 ^I!^3 "■ ~ ■ ■-" ' ■ ■' *
On admet que les différences p^q^^ — q'p^\ qp" — pq^' sont de même signe.
Supposons que les trois quantités a^y^^ oi^y^ -^ od^'^y^" soient élevées respectivement aux puissances indéterminées >, \' et V, Si Ton trouve pour ces indéterminées des valeurs satisfaisant aux équations
on sera ramené à trouver le maximum d'un produit a? y de facteurs a^y^^ ^y^t ^^^^ la somme est constante et qui sont élevés respectivement aux puissances l et V. En appliquant la règle connue, oti aura
cd^y^ od^y^'
ou
Mais des équations (1 ) on déduit
p^q" — q'p" qp" — pq" '
les quantités > et > sont donc proportionnelles aux différences pY' — ^^V" ®^ QP"^P(l'\ et en remplaçant dans réquation(2) X et y par ces différences, on a
^""f PY qY — qpff ^ pqf
C'est ce qu'il fallait démontrer.
On peut se proposer maintenant de déterminer x et y. Nous
supposerons d'abord, ce qui arrive ordinairement dans les applications, que l'équation
où a représente la somme donnée, soit une équation homogène en X et y. Alors les différences p — p' et 9' — q sont égales, et l'équation (3) fait connaître le rapport de a? à t/ qu'on désignera par m. En remplaçant ensuite y par mx dans l'équation (4) on obtient
(5) x=\/ ^ , y = ml/ — — — —.
Si le premier membre de l'équation (4) n'était pas homogène par rapport à rr et ^, on laisserait à l'équation (3) la forme sous laquelle elle s'est d'abord présentée, et on écrirait
3^y^ oF y^
En ajoutant les fractions précédentes, terme à terme, on aurait
p'g" — q^^ çp" — pq^^ (p' — p)g" — p'^q' — q) '
et de ces équations on déduirait facilement j? et y. Je vais faire une application des formules (5) à un exemple.
Problème. — Trouver^ parmi tous les cônes de même surfctce latérale^ celui qui a le plus grand volume.
•Soient x et y le rayon de la base et la hauteur du cône, et «•a* la surface latérale donnée, on a
et l'on demande de trouver le maximum de x'^y. Ici Ton a
p = 4, 7 = 0, p' = 2, g' = 2, f = ï, f=\, on déduit d'abord de l'équation (3)
puis les formules (5) donnent
On aurait du reste trouvé immédiatement les résultats précédents, si l'on avait appliqué à l'exemple particulier* la méthode qui a conduit aux formules (5). En effet, élevons à la quatrième puissance la quantité x^y dont on demande le maximum, et nous serons ramenés à trouver le maximum du produit a;* X [oc^if)'^ dont la somme des facteurs x* et xhj'^ est égale à a*. En appliquant la méthode connue, on a
d'où
On trouve ensuite sans difficulté les valeurs de x et y, telles qu elles sont données par les formules (6).
j^VS. Théorème III. — x ^^ y représentant deux variables dont
la différence est constante, le rapport — ^ a une valeur ma-
xima lorsque x et isi sont respectivement plus petits que y et n, et une valeur minima lorsque x etm sont respectivement plus grands que y et n: alors les valeurs de x et y satisfont à l'équation
Dans tout autre cas, il n'y a ni maximum ni minimum.
\'' X ^y eim ^n, —- Désignant par d la différence entre X et y, on aura
('-TÏ-
Mais si ron multiplie, dans la dernière expression, le premier facteur par d**"'*, on voit qu'on est ramené à trouver le maxi-
(^ \n-m I d\^ — I Xll 1 , c'est-à-dire le maximum d*un yj \ yJ
produit de deux facteurs, dont la somme est constante et qui sont élevés respectivement â des puissances n — met m. On aura donc
in
2° X > j/ et w < 7î. — En remplaçant y par x — d, par des calculs analogues aux précédents, on trouvera le minimum de l'énoncé. Le théorème est d'ailleurs évident en renversant la fraction et faisant une permutation de lettres.
3° ^z: ;> î/ et m ^n, les signes supérieurs ainsi que les signes
inférieurs étant pris ensemble, — Supposons, par exemple, pour fixer les idées que x soit plus grand que y et m plus petit que n. On a alors
jn /.. I 7\m
et, sous la dernière forme, on voit bien qu'à mesure que y
croît, le rapport diminue jusqu'à zéro.
