EXERCICES SUR LE CHAPITRE IX

Nota. — On devra déterminer les maœima et minima par r étude directe de la variation de certaines fonctions, comme il a été fait au chapitre xv, ou- en appliquant les différents théorèmes généraux du chapitre xvl — On ne répète plus les observations qui ont été faites en tête des exercices du chapitre précédent.

1. Trouver la plus petite et la plus grande distance d'un point à une circonférence.

2. Deux mobiles, placés en B et B' sur les côtés d'uo angle droit BAB', sont à des distances données a et a' du sommet A, et se dirigent vers ce point avec des vitesses v et v': on demande quelle sera la distance minima des deux mobiles. Celte dislance pourra-t-elle élre nulle?

3. Trouver, parmi tous les triangles de même base et de même périmètre, celui qui est tel, que la médiane, qui correspond à la base, est minima.

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4. Trouver, parmi tous les triangles de môme base et de même périmètre, celui qui est tel, que la bissectrice de Tangle opposé à la base soit maxima.

5. Parmi tous les triangles de môme base et de môme périmètre, quel est celui dont la hauteur est maxima ?

6. Trouver la plus petite de toutes les droites qui sont inscrites dans un angle droit donné et qui passenlpar un pointdela bissectrice de l'angle.

— Si Ton désigne par a la distance du point donné aux deux côtés de Tangle, et par x ety les segments interceptés par la droite sur ses deux côtés, on a *^

On démontre d'ailleurs facilement quela droite est minima en môme temps que le produit xy»

7. Par un point pris dans l'intérieur d'un angle donné, mener une droite qui forme avec les deux côtés de l'angle un triangle d'aire minima.

— a et 6 étant les distances du point donné aux deux côtés de l'angle, comptées sur des parallèles à ces côtés, et x et y les segments interceptés par la droite sur les côtés de l'angle, on a

8. Étant donné un rectangle ABGD, on propose de mener, par le sommet B, une droite BEF qui coupe le côté CD en E et le prolongement de DA en F, de telle sorte que la somme AF + CE soit minima.

9. Aux extrémités d'une droite de longueur donnée AB, on élève deux perpendiculaires AG et BD à cette droite; un point E est donné dans l'espace ABGD : on demande de mener par ce point une droite FG, telle que la moyenne proportioimelle entre AF et BG soit minima.

10. Trouver un point, dans l'intérieur d'un triangle, tel que le produit des perpendiculaires abaissées de ce point sur les trois côtés soit le plus grand possible.

11. Étant donnés une droite XY et un point A, par le point donné on mène deux droites rectangulaires et les bissectrices des angles formés par ces droites Si l'on prolonge les quatre droites jusqu'à leur rencontre avec XY, on forme ainsi deux triangles rectangles: on demande de trouver le minimum de la somme des hypoténuses de ces triangles.

— Représentant par a et a' les deux hypoténuses et par h la dis-.

tance du point A à la droite XY, on démontrera d'abord pnvV Algèbre la relation

(Voyez Questions de Trigonométrie^ page 225).

12. Parmi tous les triangles isocèles, circonscrits à un même cercle, quel est celui pour lequel le rayon du cercle circonscrit est le plus petit.

— Si l'on désigne par r le rayon du cercle donné, par R le rayon du cercle circonscrit, et par 1x la base du triangle isoscèle, on trouve

4Rr =

On prend ensuite une variable auxiliaire t, en posant

ajî -f- r' = — ,

et Ton voit facilement que le triangle demandé est équilatéral. C'est, du reste, ce qui résulte de ce théorème connu: dans tout triangle Le

rapport - est supérieur ou égal d • .

13. Couper un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes opposées, de manière que la section soit maxima.

14. Si Ton coupe un octaèdre régulier par un plan parallèle à deux faces opposées, on démontre facilement que la section est un hexagone, dont les côtés adjacents font entre eux un angle de 120** et ont une somme constante et égale à Tarèle de l'octaèdre. On propose de mener le plan sécant de manière que la section soit maxima.

— Soit a Tarète de l'octaèdre, œ et 2/ deux côtés adjacents de riiexagone, en considérant cette figure comme composée d'un trapèze isocèle et de deux triangles égaux et désignant sa surface par S, on obtient

o (2a? y + fl') VT • S

15. Étant donnés une droite et deux points extérieurs, trouver sur la droite un point, tel que la somme des carrés de ses dislances aux deux points donnés soit minima.

16. On donne sur les côtés d'un angle deux points fixes A et B, et Ton demande de trouver, sur les côtés du môme angle, deux points

C et D à la même distance du sommet et tels, que AD + BG* ait une valeur minima.

17. Deux points A et B étant donnés sur une droite, 00 prend entre les deux points un point C, on décrit deux cercles sur AC et BG

EXERCICES. ' ÎS5

comme diamètres, on mène aux deux cercles une tangente commane^ extérieure, puis on décrit un troisième cercle qui touche les deux premier» et la tatigente commune ; on demande de déterminer le point G, de manière que le rayon du troisième cercle soit le plus grand possible.

— Désignant les rayons des trois cerclés par r, r', a?, on s'appuiera sur la relation

pour démontrer que le maximum de x revient à celui de rr'.

18. Étant donnés trois points en ligne droite 0, G, 0', le second entre les deux autres, on décrit deux sphères sur GO et GO' comme diamètres et on détermine un cône de révolution tangent à toutes deux : on demande, les points et 0' étant fixes, de déterminer le point G , de manière que le volume compris entre le cône et les deux sphères soit le plus grand possible. {Queitions de Géométrie^ p. 101.)

19 Étudier la variation des fonctions • ^

ac — 1 oî-f-J. œ» > (aî-|-l)(aî.— 3)

{x + \)(x + 2) a?» 4- a? + i . {x — 3)(a? — 4) (X— \)[x - 2) ' 2x«+ (ir4- 3 ' a? - 3

et construire les courbes.