QUESTIONS D'AI^ÊBHE ÉLÉMENTAIRE

terme devenant égal à a*, cette dernièi*e quantité se troure répétée autant de fois qu'il y avait de termes dans Bj, c'est-àdire un nombre de fois égal au nombre de combinaisons de on lettres 2 à 2 : le coefficient de B^ est donc bien égal au produit de a* par Cm,i. L'explication se continue toujours de la même manière.

En remplaçant maintenant dans la foimule (!) du numéro précédent B^, B^, B3, ... B^ par les valeurs que donnent les formules (j), on a

(?) {x + ar = x" + max"^'+ C^, a»x~~'

ou, en remplaçant C,„,„ C»,,, .... Cm,r par les valeurs que donne la formule (I) ('23),

(.r4-«) =x -{-max -j — - — —a^x

SU. négle pour le calcul d«'» coefficient* • — Au lieu

de calculer les coefficients d'après leur expression générale, il est préférable de les déduire les uns des autres par la règle à laquelle conduit le théorème suivant :

Théorème. — Dans le développement de (x -j- a)" chaque coefficient est égal au précédent multiplié par Vexposani de x dans le terme auquel il appartient et divisé par Vexposani de a dans le même terme, augmenté d'une unité.

En effet, désignant par T^^i et Tr^-t les termes dont les rangs sont r + I et r + 2 dans le développement, on a

Mais le coefficient de T,.^i pouvant s'écrire :

et m — r et r étant respectivement les exposants de x et ût dans le terme précédent, le théorème est démontré.