Étudier la variation de la somme des deux fractions
a;» — Sa; -^ 1 a?» + 5a? + 1 ajî - 5œ 4- 1 ' aîs 4- 3a? + 1
23. Trouver dans quels cas on peut étudier par la méthode élémentaire la variation de la somme de deux fractions à termes du second degré.
24. Trouver, parmi tous les triangles de même périmètre, le triangle dans lequel la bissectrice de l'angle droit, la somme des deux
côtés de l'angle droil et de la baoteur, ou le yolume engendré par le triangle tournant autour dje Thypoténuse, a une valeur maxima. ^ On. trouve dans tous les cas le même triangle, le triangle isocèle dont de périmètre est donné.
25, Étant donné un carré, on porte sur chacun de ses côtés ou suf son prolongement, à. partir du sommet et dans un même sens de-rotation, une même longueur. On joint les extrémités des segments ainsi obtenus à Tun des sqmmets opposés du carré, de manière que la figure formée par les quatre droites de jonciion soit un carré. On demande d^étudier la variation de la surface de ce carré, lorsqu'on donne à la longueur arbitraire toutes les valeurs possibles.
: -* £n rçiprésêntant par a, y, x les longueurs des côtés du carré donné e^du earré variable, et la longueur qu'on porte sur les côtés du carré donné, on trouve
26. Étant données deux droites rectangulaires AB et CD, on propose de calculer les rayons de deux cercles, qui touchent respectivement les deux droites en deïix points donnés A et G et qui soient euxmêmes taogents intérieurement, sachant que la différence des rayons est minima. (On peut faire une application de ce problème à TArchitecture.)
— Soient prolongés les rayons des points de contact jusqu'à leur rencontre en E, et posons
AE=<i CE=2 6
Soient aussi îç le rayon du plus fffetit cercle, y la différence des rayons^ a la p!us grande des deux longueurs a et b, on aura , . .
Si Tangle des deux droites données était quelconque, on trouverait le minimum avec une égale facilité, seulement il faudrait employer la Trigonométrie.
27. On coupe un cône de révolution SAB par un plan DG parallèle à sa base AB, çt Ton demande d'étudier ia variation de la surface latérale du cône SDG, augmentée de m fois la surface convexe du cylindre de révolution qui a pour base la section et pour hauteur la distance de la section à la base.
28, TrDtiver le minimum du rayon R du cercle circonscrit à un trapèze isocèle dont les bases a et 6 sont données.
Désignant par x la longueur des côtés égaux, on a .
Ax^^(a—b)^' - •
EXERCrCES. , ^«7
Oo pose ensuite
et l'on trouvé que le trapèze demandé est inscrit dans un demicercle. C'est du reste ce que montre la Géométrie d'une manière intuitive. "
29. Étant donnés un triangle ABC et deux points et P pris, le premier, sur le côté BG, le second, sur son prolongement, on fait tourner autour *du point P une droite PDE qui coupe AB et AG en D et E, et Ton tire les droites OD et OE. On propose de démontrer que, lorsque le triangle DOE atteint son maximum, les droites DG et E& respectivement parallèles à AG et AB se coupent en un point G de BG.
30. Étant donnés deux cercles et 0', on mène, d'un point A de la ligne dos centres, deux tangentes à chaque cercle, puis on décrit deux cercles tangents respectivement à chacun des cercles donnés et à leurs deux tangentes : on demande de choisir le point A de manière que la somme des rayons des cercles variables soit maxima.
31. Parmi tous les trapèzes isocèles qui sont circonscriptibles à des cercles et qui sont inscrits dans un cercle donné, quel est celui dont Taire est maxima?
32. Une chaudière est formée d'un cylindre droit et clrculaheet de deux hémisphères terminés aux bases du cylindre: sa surface totale étant constante, on demande de trouver le maximum de son volume.
33. Dans l'énoncé précédent, prenez comme donnée, au lieu de la surface, la longueur de la chaudière.
34. Trouver, parmi toutes les zones à une base qui ont mônie surface, celle qui comprend le plus grand volume.
35. Trouver, parmi tqus les segments d'une même sphère qui ont môme hauteur, celui dont le volume est le plus grand (140).
36. On partage une droite AB en deux parties par un point G ; sur chacun des segments AG et BG comme base, on construit un triangle équilatéral : on demande de prendre le point G de manière que la somme des volumes engendrés par les deux triangles soit minima.
37. Remplacez dans l'énoncé précédent les d^x triangles équilatéraux par deux polygones semblables ayant pour côtés homologues AG et BG.
38. Trouver parmi tous les cylindres de même surface totale celui qui a le plus grand volume. . . . »
39. Quel est de tous les cônes de révolution circonscrits à une même sphère, celui qui a le plus petit volume ou la plus petite surface to^ taie.
— On fera voir qu'on doit obtenir le même cône dans les deux cas. 4Ô. Parmi tous les triangles rectangles qui sont tels, que la somme
des Côtés de l'angle droit est constante, quel est celui dont la hauteur est maxima ?
41; Trouver, parmi tous les cônes de même surface totale, celui qui a le plus grand volunçie.
42. Trouver le minimum des volumes des cônes de révolution circonscrits à un cylindre donné. • ;
43. Parmi tous les parallèJipipèdes ^ base carrée, quel est celui qui a le pilus grand volume ? * . ,
^ 44. Inscrire dans un demi-cercle donné un trapèze dont la surface soit maxima.
45. Parmi tous les trapèzes ayant deux angles droits et dont le périmètre et Tune des bases sont donnés, quel est celui dont la surface est maxima ?
46. Étudier la variation de la surface d'un trapèze isocèle, dont le côté différent des bases est connu et qui est inscrit dans un cercle donner
47. Trouver, parmi tous les trapèzes de même hauteur inscrits dans un cercle donné, celui qui est tel, que la sommer des carrés de ses côtés soit minima (262).
48. Étudier la variation de surface des trapèzes isocèles dont la hauteur et le périmètre sont donnés.
49. Étant donnés deux cercles et 0' et un point A sur la ligne des centres, de ce point comme centre, on décrit un arc dé cercle qui coupe les cercles donnés en D et D', on tire les droites AD et AD' et on obtient ainsi un secteur circulaire DAD'. La ligure tournant autour de la ligne des centres, le secteur DAD' engendre un secteur sphérique : on demande d'étudier la variation de ce volume.
50. On coupe une sphère de rayon r par deux plans parallèles dont ik distance /i est donnée, et on inscrit un cône de révolution dans chacune dès calottes sphériques qui, avec le segment déterminé par les plans', complètent la sphère : on demande de trouver le maximum du 'volume formé par le segment et les deux cônes.
• — On emploiera Tune ou l'autre des formules suivantes :
V = -^ (4r/i — ifi« + 4c») .
dans lesquelles V, y, y\ c représentent respectivement le volume dont il s'agit, les distances de& deux plans au centre, le rayon de la section faite par un plan, mené parallèlement aux bases du segment par le milieu de sa hauteur.
' 51 ...Étant données trois droiteiSi une droite mobile qui les coûpe rÇste parallèle'à' une direction dbfi née: on demande d'étudier la variation
de la somme des carrés de deux des segments iaterceplés sur ta droite mobilepar les trois autres droites. ''•-,
52. Étant donnés une sphère e( un çôjie de révolution dont le cercle de base est situé dans un plau: tangent à la sphère, on coupe les deux solides par un plan parallèle à la base du cône: on demande d^étudier la yarialion de la somme des deux sections lorsque le plan se déplace.
53. Étant doninés un cercle et une tangente AG à rextrémité A d'un diamètre A6, on propose de mener par le point 6 une corde BD> telle que le triangle ABD en tournant autour de la tangente engendre un volume maximum. (Saint-Cyr.)
54. Étant donnés un cercle et un point dans son plan, on prend le point comme sommet commun de triangles qui ont pour bases des cordes du cercle parallèles à une direction connue: on demande de trouver lesmaxima des aires de tous ces triangles.
55. Dans une sphère donnée on inscrit un cylindre droit et circulaire, et dans chacune des calottes qui ont mêmes bases que le cylindre et lui sont extérieures, on inscrit deux cônes de révolution: on demande de trouver parmi tous les solides formés du cylindre et des deux cônes celui qui a le plus grand volume.
