Trouver entre quelles limites peut varier le polynôme

fly* + 6aî2/ + ca5« + ^2/ + ea? + /; .

lorsque a? et y prennent toutes les valeurs possibles. — On met le polynôme, comme on Fa fait au n" 179, sous la forme.

^ Y^ 2a / + 4a T 4ac-62 / +' 4a(4ac-6)« 4a ;

Soit, pour fixer les idées, a positif: on voit que, si 6»— kac est négatif, les deux premiers termes seront positifs ou nuls. On aura donc un minimum pour les valeurs de a? et y données par les équations

bd'-2ae ■ .. . ^

-: .. ^ = 4ac - 62 > 2ay + bçc+d = 0. .

Si 6*~4ac.était positif, en écrivant que le polynôme a une valeur déterminée m, et donnant à x une valeur suffisamment grande, on pourra toujours trouver une valeur correspondante de j/ qui sera réelle : il n'y a donc alors ni maximum iri minimum.

Si b^^Aac était nul sans que hd-^lae le fut, on arriverait encore à la conclusion précédente, comme on le voit en remarquant que le polynôme peut alors s'écrire :

/ ; 6a5 + rf\« (bd^2ae)x . W—d^ T '^T^^T'l -\ r%a : . T 2a '

Quand b^ —- ^ac^ibd — 2ae sdat auls en même temps, lepoly* nome peut s'écrire ainsi :

4^/-— d^ et il y aura un minimum r- — .

. On a supposé a positif, mais si a était négatif on -procéderait 3e même.