Étant donnée l'équation

ax^-a'y^a''z^+2byz+2b'xz+2b''xy+2cx+2c'y+2c'^z+dz=0,

trouver les limites extrêmes des valeurs que peut prendre l'une des trpis variables, z par exemple.

— On met le premier membre de l'équation sous la forme

aP* + /Q* +mR* + n = 0,

^, w?, n étant des fonctions des coefficients de l'équation donnée^ et P, Q, R étant respectivement des fonctions linéaires de x, y, z va?€t4/î et de z seulement. On voit alors que tout dépend des signes de /, m, n.

— Je laisse la discussion à faire.

58. X, y^ z, t . , . étant des variables en nombre quelconque,

on a '

a étant une quantité constante, et l'on demande de trouver le maximum, de la quantité

(2) tna? + W2/ 4-p^ + 7^ + . . . ,

dans laquelle m, n, p, ^ . . . sont des constantes positives quelconques.

— On généralisera le théorème du n» 144 par la même méthode qui a servi à généraliser le théorème du no(142). Le raisonnement commence ainsi : Si l'on suppose que, dans l'expression (2), deux des variables x eX y n'ont pas des valeurs proportionnelles à leurs multiplicateurs, on pourra les remplacer par ies

wîoî ny . . , ,

nombres — et — . , qui sont proportionnels a m

et n, et qui laissent le premier membre de l'équation (I) tel qu'il était, si on ne change pas les autres variables. .

51). a,m^n^p, q , , , désignant des constantes positives et x, y, z^t.. .des variables positives en nombre quelconque, on a

on demande de trouver le miaimum de

— On généralisera le théorème du m 145.

60. Trouver dans l'intérieur d*un triangle un point, tel que la somme des carrés de ses distances aux trois côtés soit minima.

— On applique le théorème de l'exercice précédent. — Voyez aussi une solution géométrique. Questions de Géométrie, page 279.

61. On a n cylindre droits et circulaires dont les hauteurs h^, /i].... hn sont données, et Ton connaît la somme de leurs surfaces latérales : on demande quelles sont les valeurs des rayons de bases des cy» lindre.^, pour lesquelles la somme des volumes des cylindres est minima.

— x^, X2, Xt . . » Xn étant les rayons des bases, on pose

• ' y/ hn

Xi =

yflï^'

y/ ht

et par rapplication du théorème de Texercice 57, on trouve que tous les rayons doivent être égaux : on peut donc calculer leur vajeub commune.