BINOME DE NEWTON

On peut maintenant obtenir très-rapidement le développement d'une puissance déterminée de {X'\-a), Soit, par exemple, à développer {x -f- ^7» 0^^ écrit d'abord immédiatement les deux premiers termes rr^ et lax^. En passant d'un terme au suivant, l'exposant de x diminue d'une unité et l'exposant de a augmente d'autant ; tout se réduit donc au calcul des coefficients. Pour trouver le troisième coefficient, appliquons la règle. Il faut multiplier 7 par 6 et diviser le produit par 2, c'est-à-dire multiplier 7 par 3 : 21 est donc le coefficient du troisième terme. On a ensuite le coefficient du quatrième terme en multipliant 21 par 5 et divisant par 3, ce coefficient est donc 7x 5 ou 35. En continuant toujours de la même manière on trouve

[x -I- ay = x' -f lax^ -f 2 la«x* + rM^x^ + 35a*x» + 2 la»x« -J- la^x -f- a'.

t7. Théorème. — Les coefficients des termes^ à égale distance

des extrêmes dans le développement de (x -|- a)", sont égaux et de même signe. Remarquons d'abord que, le nombre des

termes dans le développement de [x -f- a)"* étant égal à m -J- 1 , le terme qui en à r après lui en a (m+ J) — (r + 1) ou m — r avant lui : tout est alors ramené, d'après la formule (2) du n° 25, à démontrer que Ton a toujours

C'est ce que l'on voit facilement en réduisant au même dénominateur les fractions qui représentent les deux membres de l'équation. On peut aussi remarquer, que si Ton décompose un produit de m lettres en deux facteurs dont l'un contient r lettres et l'autre m. — r lettres, le premier facteur représente une combinaison de r lettres et l'autre une combinaison de w — r lettres, et l'on peut évidemment conclure de là que les deux nombres de combinaisons sont égaux.