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• DéfîDitions. — IdeDlité, égalité, équation. — Équations équivalentes et systèmes cl*équations équivalentes. — Degré d'une équation à une ou plusieurs inconnues lorsque Téquation est ramenée à la forme entière et rationnelle par rapport aux inconnues. ~ Classification des équHtions d'après leur degré. .

M. Équaiion du premier degré à une inconnue. — Sa résolution repose sur plusieurs principes qui sont du reste applicables à des équations de degré quelconque à une ou plusieurs inconnues.

l«r principe. - On obtient une équation équivalente à une équation donnée en ajoutant ou retranchant une même quantité aux deux membres. — De là on déduit la règle pour faire passer un terme d'un membre dans un autre.

2« principe. — On obtient une équation équivalente à une équation donnée en multipliant les deux membres par une même quantité, pourvu que cette quantité ne soit ni nulle ni infime et ne contienne pas rinconnue.

Discussion du cas où Tinconnue est contenue dans le multiplicateur. On déduit, comme conséquence du principe^ la règle pour chasser les dénominateurs.

3e principe. — On augmente, en général, le nombre des solutions d'une équation en élevant ses deux membres à la même puissance.

Règle générale pour la résolution de l'équation du premier degré à une inconnue. Cas où l'équation contient un ou plusieurs radicaux.

!•. Résolution des systèmes d'équations du premier degré à plusieurs inconnues. — Elle repose sur deux théorèmes.

Théorème I. — Étant donné un système quelconque d'équations à

plusieurs inconnnues, on peut, sans changer les solutions du système, substituer à Tune des équations celle qu'on obtient en rajoutant, membre à membre, avec autant des autres équations que l'on veut.

Remarque, — On peut remplacer les additions par des soustractions, multiplier préalablement les deux membres de chaque équation par une quantité quelconque et appliquer le principe à plusieurs équations du système.

Théorème II. — Lorsqu'une des équations d'un système est résolue par rapport à Tune des inconnues, en remplaçant cette inconnue par son expression dans chacune des autres équations, on obtient un système équivalent au premier.

Le second principe conduit à une méthode dJélimination dite de substitution^ et sur le premier principe est fondée une méthode dite de réduction.

Résolution d'un sysième de deux équations à deux inconnues et de trois équations à trois inconnues en employant successivement ou simultanément les deux méthodes.

5MI. Généralisation, — Cas de m équations du premier degré à m inconnues. — On fait voir que ce système conduit en général à un système équivalent composé de m équations dont la première contient une inconnue œ, la seconde, l'inconnue cç et une autre y, la troisième, les deux inconnues. a? et y et une troisième z, et ainsi de suite jusqu'à la derDière qui contient les m inconnues. — Il résulte de là qu'en général un système de m équations du premier degré à m inconnues admet un système unique et déterminé de valeurs pour les inconnues puisqu'on est ramené à résoudre successivement des équations du premier degré à une seule inconnue. La démonstration est seulement en défaut lorsque les coefficients d'une ou plusieurs inconnues dans les équations du premier degré à une inconnue ont mie valeur nulle, et alors le système peut être impossible ou indéterminé. — Montrer comment on peut former a priori de pareils systèmes. — Cas où les équations ne contenaient pas toutes les inconnues. On doit alors considérer le système comme ayant déjà été déduit d'un système dont les équations contenaient toutes les inconnues, de telle sorte que l'élimination étant déjà faite en partie, la résolution du système n'en est que plus facile.

91. Lorsque ie nombre des inconnues surpasse le nombre des équations, le système est en général indéterminé. — Au contraire,' lorsqu'il y a plus d'équations que d'inconnues, ou le système est impossible, ou certaines conditions doivent être remplies par les coeflicicnts des inconnues s'ils sont littéraux.