DEGRÉ

39. Pour trouver la solution d'un problème par l'algèbre, il faut d'abord obtenir les équations du problème, puis les résoudre. Cette dernière question n'a été traitée jusqu'ici que pour les équations du premier degré, mais les méthodes pour la résolution des équations d'un degré plus élevé sont données à mesure qu'on avance dans l'algèbre ; il n'y a donc qu'à s'occuper de la mise en équation.

La règle générale pour la mise en équations des problèmes est la suivante :

Examinez d'abord quelles sont les quantités qui, d'après l énoncé^ doivent être égales, et si les conditions ne se présentent pas, à première rwe, sous la forme d'égalités, cherchez par une étude attentive de renoncé à leur donner cette forme. {Un problème d'algèbre sera plus ou moins facile à mettre en équations suivant que la transformation sera plus ou moins immédiate,) Cela fait, formez, au moyen des inconnues et des données représentées, les premières par les lettres x, y, z, les dernières far les lettres a, b, c ou des nombres^ les expressions des quantités qui doivent être égales ; séparez ces expressions par le signe =, et si toutes les conditions de Vénoncc ont été employées, les équations du problème seront trouvées. Engéné^ rai, on reconnaîtra quil en est ainsi lorsque les équations seront en même nombre que les inconnues.

Éclaircissons la règle par quelques exemples.

Problème I. — Un enfant a 10 ans, son père 40 ans, dans combien d'années Vàge du père sera-t-il le triple de celui du fils?

La condition du problème est que le triple de l'âge du fils, à Fépoque demandée, soit égal à l'âge du père. Désignons alors par xle nombre d'années demandé, et formons les expressions des deux quantités qui doivent être égales : elles sont évidemment (10 -\- x) X 3 et 40 + ^ ; l'équation du problème est donc

(lO + ^)X3 = 40 + £r.

En la résolvant on obtient x égal à 5.

Problème II. — Les aiguilles d'une montre sont^ l'une sur

Vautre^ à midi, à quelle heure aura lieu la prochaine ren-contre ?

Soit A le point de départ des deux aiguilles et B leur point de rencontre. Pendant que la petite aiguille aura parcouru la distance AB, la grande aiguille aura parcouru Tespace AB augmenté d'une circonférence. Mais comme, d'autre part, elle aura parcouru 12AB puisqu'elle marche 12 fois plus vite que l'autre, les deux quantités qui devront être égales seront 12ABet AR augmentée d*une circonférence. Prenant alors pour unité la longueur de la soixantième partie de la circonférence, appelant X la distance AB ainsi mesurée et, observant que la circonférence du cadran est représentée par le nombre 60, on a pour équation du problème

12ir = 60-fa?, d'où Ton tire

la rencontre a donc lieu à une heure 5 minutes

On peut encore mettre le problème en équation en exprimant que les temps du parcours des deux aiguilles sont égaux. La grande aiguille, parcourant 60 + a? divisions et une seule division par seconde, a marché pendant 60 -|- ^ secondes ; la seconde aiguille a parcouru x divisions, à raison d'une division par 12 secondes, et elle a, par suite, mis un temps égal à 12a?. On a donc encore la même équation.

Problème III. — Un réservoir qui est plein d'eau peut se

vider par deux robinets de grandeurs inégales. On ouvre l'un

^eux et on fait couler te quart de l'eau ; puis alors on ouvre

tautreet on les laisse couler tous les deux. Le réservoir achève

de se vider et emploie pour cela -y- d'heure de plus quil n'a

fallu au premier pour vider le quart de l'eau. Si on eut ouvert ks deux robinets dès le commencement^ le réservoir se serait ^Hè un quart d'heure plus tôt. Combien faudrait il d'heures au premier robinet s^il coulait constamment seul pour vider le Téservoir,

Désignant par a? le nombre d'heures cherché, nous allons former, au moyen de x et des nombres donnés, deux exprès-

26 QUESTIONS lyALGKBBE ËLËMENTAIRE.

siens différentes du temps qoe les deux robinets coulant ensemble mettent à vider le réservoir. D'abord, diaprés la première partie de l'énoncé, le pnemier ndûnet coulant seul met

un temps -7- , puis les deux robinets coulant ensemble, pour

vider les -7- restants du bassin, emploient un temps

Il résulte de cette dernière expression que les deux robinets, coulant ensemble mettraient pour vider le bassin un temps

égal à — 2 — X"ô' ^^ — o — • ^^ * ^^^^^ ^ première ex- 4 3 <$

pression demandée.

Maintenant la dernière condition exprimée par l'énoncé conduit à cette autre expression :

X , œ-\-h 1 ar + 2

l'équation du problème est donc

""3~"" 2 ' d'où Ton déduit x égal à 4.

Problème TV. — Trois joueurs ont fait cette convention que chaque perdant doublera la somme possédée par chacun des autres joueurs à la fin de la partie. Chacun d'euxj après avoir perdu une partie^ se retire avec une somme a, on de^ mande avec quelle somme ils se sont présentés au jeu.

Soient x, t/, z les sommes possédées au commencement du jeu, respectivement, par le premier, le second et le troisième perdant, A la fin de la troisième partie, les trois joueurs auront respectivement

à la fin de la seconde,

2x — 2y— 2z, 3y — X — s, Az et à la fin de la troisième^

4a? — iy — iz, &y — 2x — 2z, Iz — y — x\ les équations du problème sont donc 4a?— 41/ — 4s=a, 6y — 2a"— 2:ï = a, 7«— y— x=a,

et l'on est ramené à résoudre trois équations à trois inconnues.

• Quelquefois l'étude attentive des conditions de l'énoncé permet de simplifier la solution. Ainsi, nous allons voir que, dans le problème actuel, on peut arriver immédiatement à trois équations qui ne contiennent, chacune, qu'une inconnue. En effet, la somme possédée par les trois joueurs ensemble étant toujours 3a, chaque perdant donne toujours aux deux autres la somme ia diminuée delà somme qu'il possède avant de perdre, puisque telle est la somme possédée alors par les deux autres joueurs. Donc les parts des trois joueurs à la fin des trois parties sont

ix — 6a, 4y — 3a, 4^, 8x — 12a, 8y — 6a, 8z — 3a,

et les équations du problème deviennent

d'où l'on tire

Problème IV. — Les poids spécifiques a, et h de deux më^ taux étant connus, on demande quels poids x et j il faut prendre de chacun d'eux pour former un alliage dor.t le poids soit p et le poids spécifique c.

On obtiendra les équations du problème en écrivant que les sommes des poids et des volumes des deux métaux sont égales, respectivement, au poids et au volume de l'alliage. On a ainsi

d'où Ton lire

j, apic — à) bp{a — c)