DANS LES PROBLÈMES

8S. Les nombres négatifs sont admis comme solutions des équations au même titre que les nombres positifs, car les théoièmes sur lesquels s'appuie la résolution des équations s'appliquent encore lorsque les inconnues ont des valeurs négatives; et x^our véiifier qu'elles satisfont aux équations, il suffit de £aire les substitutions d après les règles du calcul des quantités négatives. Seulement, les membres des équations pouvant alors devenir négatifs sont dits identiques lorsqu'ils sont égaux et de même signe.

Il s'agit maintenant de voir quelle signification il faut attribuer aux solutions négatives dans la résolution des problèmes. Doit-on simplement les rejeter comme impossibles, ou sont>elle& susceptibles d'interprétation? Il est clair d'abord que, lorsqu'on trouve une ou plusieurs valeurs négatives pour les inconnues d'un problème, la solution est impossible dans les termes mêmes de l'énoncé, mais on comprend qu'il peut arriver qu'en modifiant un peu les conditions données on trouve un nouvel énoncé auquel correspondent, comme 'solution, les valeurs absolues des nombres négatifs précédemment obtenus. C'est là ce qu'on appelle interpréter les solutions négatives des équations : pour y arriver on s'appuie sur le théorème suivant.

84. Théorème. — Si un système d'équations admet pour les inconnues x, y, z, ..• les valeurs —a, — p, — y, ... le système

(Téqiiations qu'on déduirait des proposées en y changeant X, y, z, . . ., respectivement, en — x, — y, — z . . ., admettra fOur solution les valeurs a^ p, 7....

Prenons pour fixer les idées les deux équations du premier degré à deux inconnues

ax-\-by= c, a^œ -|- b^y = c\

' qui admettent — « et — ^ pour valeurs de œ et y. On a alors les identités

(1) —aK — b? = c, — a'a — 6'j3 = o' ;

maintenant, si Ton change x eiy en — x et — y dans les équatiens précédentes, les transformées en — a?, seront .

— ax—by:=iCy — a'x — Vy = c',

et, si l'on y remplace x Qiy par — a et — j3, on voit bien que l'on retombe sur les identités (1) : le théorème est donc démontré.

M3^. Voici maintenant comment se fait l'interprétation des solutions négatives :

Quand un problème conduit à des valeurs négatives pour une mplusieurs inconnues x, y, z . . ., changez x, y, z . . ., e/i — x,

— y, — z ..•, dans les éqUrations du problème sous leur forme primitive^ puis modifiez V énoncé ou écartez-en certaines res^ trictio^is de manière à pouvoir Veniendre dans un sens plus générait sous la condition que les nouvelles équations soient la traduction du nouvel énoncé. Alors, d'après le thésrème précédent, le problème modifié ou généralisé aura pour solution les valeurs absolues des nombres négatifs précédemment trouvés.

Appliquons cette règle à quelques exemples.

Problème I. — Un enfant a 15 ans, son père 35 ans, dans combien d'années l'âge du pb^e sera-tAl triple de celui du fils?

C'est le problème I du n^ at, à paît les données numériques.

- L'équation du problème est

(15 + ir)x3 = 35 + x,

et en la résolvant, on trouve qu'elle est satisfaite par une valeur de X égale à —5. Alors, d'après la règle générale, on chan-

30 QUmmmS D'ALGËBRE ËLËBfEaïTAJIRfi.

géra a? en — a? dans Téquatiott immédiate du problème et on aura la transformée en — œ

(15— iF)x3 = 35 — a?,

qui, en vertu du théorème (34), sera satisfaite par la valeur 5 pour X.

Mais la nouvelle équation correspond évidemment à cet énoncé : Combien y a-t-il d'années que Vâge du père était ' triple de celui du fils ? On voit dès lors que la solution négative — 5 apprend qu'il y a 5 ans l'âge du père était triple de celui du fils.

On pe«t encore se placer à un autre point de vue : on peut chercher un énoncé général qui comprenne, à la fois, l'énôncè primitif et le nouveau. Alors les solutions positive et négative seront également bonnes, comme s'appliquant chacune à un cas particulier de l'énoncé. Pour le bien faire comprendre^ reprenons le problème précédent en renonçant sous une forme plus générale ; l'énoncé est alors le suivant :

Les âges respectifs d'un père et de son fils sont a e< b, d quelle époque Vâge du père est-il triple de l'âge du fils ?

Soit a: le nombre d'années comprises entre l'époque actuelle et l'époque demandée : les âges respectifs du père et du fils, quand la condition de l'énoncé est remplie, seront a-^x eib -^x^le nombre x étant positif ou négatif suivant qu'il s'agit du futur ou du passé. Alors Téquation du problème, tout aussi générale que l'énoncé lui-même, est

(6 + x) X 3 = a + ^j et l'on en tire

Maintenant, si a est plus grand que 36, x est positif et c'est dans le futur que l'âge du père devient triple de celui du fils ; si a est égal à 6, a? est nul comme on devait s'y attendre ; enfin, si a est plus petit que 36, x est négatif et c'est dans le passé que l'âge du père a été triple de celui du fils.

Problème II. — Deux points A, et Aa sont situés sur une même droite à des distances a, et aj d'un point et de part et d'autre de ce point (flg 1 ) ; on prend le milieu X de la distance AjAj et Von demande de calculer la distance OX.

Soit X la distance cherchée. Supposons d'abord a^ plus grand que a.y Portons alors OA^ de A, en B, on aura OB égal à la différence a, — a^. Mais comme OX ovix est égale à la moitié de OB, on a a? par l'équation

Si a, était plus petit que a^, la formule (1) donnerait pour x une valeur négative, mais si on y change a? en — a?, on obtient

-*=-V^ ou x=^^-L,

et la nouvelle équation s'interprète évidemment en supposant que le point X est à gauche et non à droite du point 0.

Faisons maintenant une généralisation analogue à celle du premier problème en écartant la restriction que a^ est plus grand que a^. Alors la formule (!) sera générale et suivant qu'on trouvera pour x une valeur positive ou négative, le point X sera à droite ou ti gauche du point 0.

sa. On a vu que dans le problème I des valeurs, de signe contraire pour le temps inconnu, indiquent des situations op^ posées du temps inconnu par rapport à l'origine du temps, c'est-à-dire l'une, un temps passé, l'autre, un temps futur. On peut faire voir qu'il en sera généralement de même dans tout problème où le temps sera pris pour inconnu.

Soit

(1) ax = b^

l'équation d'un problème où le temps représenté par x est pris pour inconnu, et supposons que l'équation admette la solution négative — a. On aura l'identité

(2) —aoi=b.

. Reculons maintenant l'origine des temps dans le passé d'une quantité t assez grande pour que tous les temps, qu'on peut avoir à considérer dans le problème, soient postérieurs à la nouvelle origine. 8i^' est le temps rapporté à la nouvelle origine, on aura la relation

qui sera générale à la condition de considérer x comme posi-

tif OU négatif suivant qu'il s'agira d'une époque postérieure ou antérieure à la nouvelle origine. Maintenant si Ton remplace dans Téquation {\)x par sa valeur a?'— t tirée de l'équation (3), on a

équation en x' qui n'admet que des valeurs positives pour l'inconnue. Mais si la valeur de oc' est plus petite que t^ la valeur correspondante de x sera négative en vertu de la formule (3). Par exemple, si la valeur de x' satisfaisant à l'équation (4). est égale à ^ — oc, x sera égal à — « et l'identité (2) sera satisfaite. La solution — a de l'équation (1) indique donc bien un temps antérieur de a à l'ancienne origine du temps, c'est-à-dire un temps passé.

Le raisonnement qui précède n'est pas tout à fait général^ parce que Ton a supposé que l'équation (-4) s'appliquait à une époque quelconque : or il pourrait arriver qu'il n'en fut pas ainsi.

Proposons-nous, par exemple, le problème suivant :

On entre dans un musée à midi et l'on paie un droit fixe d'entrée de a. francs et une somme h par chaque heure de séjour dans le musée. Une personne après être restée un certain nombre dlieures x dans le musée a payé une somme c, on demande le nombre d'heures.

L'équation du problème est

a -\'bx = c.

Si le nombre donné c est plus petit que a, on trouve pour x une valeur négative, et il est bien clair que cette valeur ne peut s'interpréter en supposant que la personne est entrée au musée un certain nombre d'heures avant midi.. Mais c'est qu'aussi l'équation

qui correspond à l'équation (4) n'est plus générale, car s'il s'agit d'une époque antérieure à midi, et que le droit proportionnel soit toujours de b francs par heure, Téquation du problème sera alors