Principe de Oeaeartes. — Le pfoblème Ilet d'autres
•problèmes analogues conduisent au principe suivant énoncé par Descartes.
Si dans un p^vblème on a pris pour inconnue la distance d'un point cherché à un point fixe choisi pour origine, Iq, distance étant comptée sur une ligne fixe quelconque^ des valeurs désigne contraire trouvées pour V inconnue indiqueront deux situations opposées du point cherché par rapport à l'origine.
La démonstration est toute semblable à celle qui a été donnée pour le principe analogue relatif au temps pris pour inconnu. Soit un point situé sur une droite donnée^ d'un côté de l'origine des distances, à droite, par exemple. La distance a? de ce point à l'origine étant inconnue, supposons qu'on ait trouvé pour la déterminer l'équation
(I) ox = b.
Si Ton obtient pour x une valeur négative — a, on aura l'identité
(?) — aa = 6.
Prenons alors sur la droite donnée une nouvelle origine, à gauche de l'ancienne - et suffisamment éloignée pour que le point inconnu reste toujours à sa droite. Soient d la dislance des deux origines et x' la distance du point cherché à la nouvelle origine, on aura
et cette équation sera générale, à la condition de considérer x comme positif ou négatif, suivant qiie le point cherché sera à droite ou à gauche de l'ancienne origine. Substituant maintenant dans l'équation (l) à la place de x la valeur x' — d, il Viendra
«t l'on voit par l'équation (2) que, si une valeur de x^ plus petite que d\ la valeur d — a, par exemple, satisfait à l'équation (4), l équation (.1) a pour solution le nombre négatif — «. Une valeur négative de x correspond bien, par conséquent, à la position du point cherché quand il est à gauche de l'origine.
La démonstration n*est pas tout à fait générale, parce qu'elle suppose que l'équation (3) s'applique à tous les cas, ce qui peut ne pas arriver. Soit, par exemple, le problème suivant.
Sur un chemin de fer on paie un droit fixe de a francs pour un transport de marchandises et un droit proportionnel de h francs par kilomètre pour p kilogrammes de la marchandise : on a payé en tout la somme c pour le transport de p kilogrammes, quel est le nombre de kilomètres parcourus 7
L'équation du problème est
a -{- bx = c,
et si le nombre a est plus grand que, c, on trouve pour x une valeur négative qui évidemment ne peut pas s'interpréter en supposant que le train a marché en sens contraire. Mais c'est que l'équation
qui correspond à l'équation (4) n'est plus applicable au cas où lé convoi marche en sens contraire, mais bien l'équation
On volt au fond à quoi il tient que dans les problèmes du musée et du chemin de fer les équations (4) ne sont pas générales : c'est que les quantités qui entrent dans les équations ne sont pas des temps ou des distances, mais seulement de& quantités qui leur sont proportionnelles et qui ne sont pas nécessairement ajoutées et retranchées en même temps qu'elles.
