Extension du princip-^ de Oescartes» — Lorsquc

des distances sont comptées à par t'r d'une droite fixe sur dv.s droites parallèles, on peut supposer que toutes les droites parallèles soient projetées sur Vune d'elles au moyen de parallèles à la droite fixe qu'elles rencontrent. Alors les distances sont toutes comptées sur une même droite à partir d'une ori^ gine qui est le point de rencontre de cette droite avec celle qui coupe toutes les parallèles. — On rentre alors dans le cas du principe ordinaire de Descartes.

Il sera fait plusieurs applications de ce principe par la suite par exemple, au problème II, n* 59.

S9. Emploi des quantités négatives pour i*epré* •enter les données elles-mêmes» — Pour obtenir le&

solutions générales des problèmes, il faut souvent considérer les données elles-mêmes comme pouvant avoir des valeurs positives ou négatives. Je vais donner deux exemples.

Problème I. — Deux points A| et Aj sont placés sur une droite donnée à des distances connues d'une origine 0, on veut trouver la distance à celte origine d'un point X situé au milieu de la distance A^Aj des deux points.

On va démontrer que si Ton désigne, respectivement, par aj, Oj et X les distances des trois points A,, Âj et X à i*origine G, on a toujours la formule

pourvu que l'on donne des signes aux trois distances a^, a^, x conformément à la règle de Descartes (37).

Supposons d'abord (flg. 2) que les deux points A^ et A^ soient tous deux à droite de l'origine : si Ton porte à la suite de OA2 une longueur BAj égale à OA, QB sera égale à OA^ -f- OA2 et le point X étant évidemment le milieu de OB, on aura

(?) OX=-^^ii^.

On voit que cette équation est comprise dans l'équation générale (1), puisqu'on l'obtient en remplaçant dans cette équation J", »! et «2, respectivement, par OX, 0A| et OAg.

Si les deux points A4 et Ag sont tous deux à gauche de l'origine O, .l'équation (2) subsiste toujours et l'on voit qu elle se déduit de l'équation (I) en y remplaçant a?, a, et ^3, respecti?ement, par — OXj — OA/ et — OA^.

Supposons maintenant que les deux points A, et A^ soient de part et d'autre du point 0, par exemple, A| à droite, A^ à gauche de ce point. Comme on Ta vu (problème II, 35), on aura

(3) ox=Q^'-Q^» ou (4) 0X= »A,.-OA, ^

suivant que OA^ est plus grand ou plus petit que OA^. Mais, l'équation (3) se déduit de l'équation (1) en y remplaçant x, a, etCj, respectivement, par OX, OA^ et — OA2, et l'équation (4) en remplaçant dans l'équation (l) ir, a, et «2^ respectivement, par — OX, OA, et — OAj.

Si le point A, était à gauche de et le point Aj à droite, on vériûerait, comme dans le cas précédent, la formule (!).

La généralité de la formule est donc maintenant démontrée.

PhoblémbII. — Un mobile M ite meut sur une droite XY (fig. 3), dans un sens ou dans l'autre, avec une vitesse cons* tante, on demande de trouver sa position sur la droite à une époque quelconque.

Si Ton désigne par x la distance du mobile M à Torigine O, par V la vitesse^ par a la distance à l'origine du point A où se trouve le mobile à l'origine du temps, et par t le temps compté à partir de cette origine, on obtient x par la formule

Cette formule qu'on appelle la formule du mouvement uniforme est générale, à la condition que la vitesse v sera positive ou négative, suivant que le mobile marchera dans le sens XY ou dans le sens YX, et que les quantités f, ^r, a prendront des signes conformément aux principes des n** (36) et (37). On procédera comme on l'a fait dans le problème précédent : on prendra, par exemple, cet ordre de discussion : 1° le point A étant à droite de et le point M se mouvant dans le sens XY, on supposera que ce dernier point est successivement à droite de A, entre et A, puis à gauche de ; 2** le point A étant toujours à droite de 0, mais la vitesse étant de sens contraire, on fera les mêmes hypothèses que dans le cas précédent sur les positions du mobile M ; 3* le point A étant maintenant à gauche de O, on reprendra les mêmes cas déjà examinés.