CHAPITRE VII
FORMULES GÉNÉRALES POUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ ET DISCUSSION DE CES FORMULES.
69. — DisouBslon de la formule e»^nérale de l'équa* tion du premier de^ré Ik une seule inconnue.
Toute équation du premier degré à une inconnue peut se ramener à la forme
• (1) ax:=bf
X désignant l'inconnue et a et 6 étant des membres positifs ou négatifs. En divisant les deux nombres par a on obtient pour formule de résolution
Lorsque a est différent de zéro les équations (I) et (2) sont équivalentes. Mais réq[uation(2) est évidemment satisfaite en
remplaçant x par — et par cette valeur seule ; donc, toutes les
fois que a n'est pas nul, l'équation du premier degré a toujours une solution et une seule ; c'est ce qui avait déjà été remarqué.
Supposons maintenant a nul sans que b le soit, l'équation se réduit alors à
et est évidemment impossible. Mais bien qu'on ne puisse plus considérer l'équation (2) comme la conséquence de l'équation (1), à cause de l'hypothèse : a égal à zéro^ faisons néanmoins a nul dans la formule (2) : on trouve alors
44 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIBE.
— est un nouveau symbole introduit par le calcul, mais
comme on l'a trouvé dans le cas où Téquation est impossible, on dit qu'il est le symbole de l'impossibilité, du moins dans le cas de la résolution de l'équation du premier degré à une inconnue.
Le symbole — ^st dit aussi le symbole de rinfini : voici
comment on est conduit à cette expression. Supposons d'abord que a ne soit pas nul mais seulement très-petit, l'équation (2) sera toujours une conséquence de l'équation (1) et admettra une solution d'autant plus grande que a sera plus petit. On voit même que la valeur de œ pourra devenir aussi grande que l'on voudra eu donnant à a une valeur suffisamment petite : c'est ce fait qu'on exprime en disant que la valeur de x est infinie quand a est égal à zéro.
Remarque. — Quand l'inconnue œ est une inconnue auxi^ liaire^ il peut arriver qu'une valeur infinie de de x n'indique pas l'impossibilité du problème. Ainsi, lorsque pour déterminer la position d'une droite satisfaisant à diverses conditions géométriques, on prend pour inconnue la distance entre le point d'intersection de cette droite avec une droite fixe et un point donné sur cette seconde droite, il est évident qu'une valeur infinie de l'inconnue indique le parallélisme des deux droites. On a vu, par exemple, en géométrie que le problème de la tangente commune à deux cercles situés dans un même plan est résolu par la formule
dr
dans laquelle B et r sont les rayons du grand et du petit cercle, d la distance des centres et x la distance comprise entre le contre du plus petit cercle et le point où la tangente commune rencontre la ligne des centres. Si on y fait r égal à R, la valeur de X devient infinie ; mais la tangente commune rencontrant la ligne des centres à Tinfini est parallèle à cette droite.
Faisons maintenant les deux hypothèses : a e< b nuls. Alors les équations (t) et (2) deviennent
RÉSOLUTION Dm ËOUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. 45
La première égalité indique que Téquation (f) est satisfaite, quel que suit x, Qoant à la seconde, elle conduit à un nouveau
symbole —- , et comme on Ta trouvé quand la valeur de x
n'est pas déterminée, on dit que, dans la résolution de Téquation du premier degré à une seule inconnue, --- est le symbole de rindétermination.
AS. Observa U<m mmv lé symbole — . — Il faut bien
remarquer que le symbole — n'indique pas toujours une indétermination véritable. Supposons, par exemple, que nous ayons trouvé
et que nous voulions obtenir la valeur de x dans le cas où a est égal à 1 . En faisant immédiatement a égal à 1 dans la formule,
on trouve que, la valeur de x se présente sous la forme — .
Mais si Ton donne à a une valeur très-peu différente de 1, on
peut diviser les deux termes de la fraction par la valeur du
facteur commun a — 1 qui n'est pas nulle. Par conséquent,
lorsque a tend vers 1 , la fraction tend vers la valeur que prend
~ pour a égal à 1, c'est-à-dire, vers — :1e nombre — est
donc la véritable valeur de x,
