DU PREMIER DEGRÉ A DEUX INCONNUES

Soient toujours les deux équations générales

(1) ax-\'by = c, (2) a'x + b'y = &.

Nous distinguerons deux cas principaux dans la discussion suivant que deux coefficients d'une même inconnue ne sont pas nuls ou sont nuls en même temps.

Premier cas général, — Deux coefficients (ïune même inconnue

ne sont pas nuls en même temps.

ftG. Ici, pour arriver aux formules générales, on opérera par substitution. Soit a celui des deux coefficients de x qui n*est pas nul : on peut alors passer de l'équation (I) à l'équation

et en substituant dans l'équation (1) la valeur de x que donne l'équation (3) on arrive, par des calculs toujours permis lorsque a est différent de zéro, à l'équation

(4) {aV — ba')]! = ad — ca\

Mais d'après ce qu on a vu dans la discussion do l'équation du premier degré à une inconnue, on est conduit à subdiviser le cas général en trois autres, d'après les hypothèses suivantes : ab' — ba' est différent de zéro; ab' — ba' est égal à zéro et en mime temps ac'— ca' est différent de zéro; ab'— ba' et ac'— ca' sont nuls en même temps.

48 QUESTIONS O'ALGËBRE ËLÉKENTAIRB.

i° On a

aV -^ ba' ^0.

Il est alors permis de diviser par aV — 6a' les deux membres de l'équation (4) et Ton obtient

ac' — ca'

aV — ba

substituant maintenant dans l'équation (3) la valeur de y que Ton vient de trouver, on arrive, par des calculs permis, à la formule

cV — bù'

Les valeurs données par les formules (5) et (6) satisfont au système des équations (3) et (4) et, par suite, au système équivalent des équations proposées, et c'est d'ailleurs la seule solution. Donc lorsque ab' — ba' est différent de zéro, le système de deux équations du premier degré a toujours une solution et une seule. Il est d'ailleurs inutile d'ajouter que a et a' sont différents de zéro, puisque si deux coefficients d'une même inconnue étaient nuls en même temps, aV — ba' serait égala zéro.

2^ On a

(7) aô' — 6a'=:0, ' (8) ac' — ca'^0.

On n'a plus le droit maintenant de diviser les deux membres de l'équation (4) par le facteur nul aV — ba^ et, par suite, de passer aux formules (5) et (6) ; voyons cependant œ qu'elles

donnent. La valeur de y se présente sous la forme -t— , et je

dis qu'il en est de même de x.

En effet, a n'étant pas nul, de l'égalité (7) on tire

et en substituant dans cV — bc* à U la quantité égale on obtient

(10) ce' - 6c' = i^^^^Hi^ .

a n'est pas nul, et ca'—a& qui est de signe contraire à a& — oa'

ba' a

ne Test pas non plus ; on ne peut pas d'ailleurs admettre que b soit égal à zéro car ab' le serait aussi, en vertu- çLe Tégalité (7), et, comme a n'est pas nul, V serait égal à zéro : alors deux coefficients d'une même inconnue b et 6' seraient nuls en même temps, ce qui est contre l'hypothèse. Ainsi, il est démontré que cV-^bc' n'est pas nul et que les inconnues se présentent toutes

deux sous la forme -— .

Le symbole — indique ici l'impossibilité de trouver des

valeurs qui satisfassent aux équations données, car le système des équations (3) et (4) équivalent au système proposé se compose de deux équations dont la seconde se réduit à une équation impossible de la forme

Je dis maintenant que l'impossibilité de résoudre les équations tient à ce que, les deux membres de la seconde étant respectivement égaux aux deux membres de la première multipliés par des nombres différents, les deux équations sont incompatibles.

a' En effet, si l'on désigne par r et qu'on appelle v^ un

nombre différent de r, on pourra écrire

a' = ar^ V = ftr, d = cr^^

les deux dernières égalités remplaçant l'égalité (9) et l'inéga lité(8). Alors, si on substitue dans l'équation (2), ar^ b)\ cr, à a\ b\ o\ on obtient

c'est ce qu'il fallait prouver, l^ On a en même temps,

aV — 6a' = 0. ad — oa^ = 0.

Alors la valeur de x se présente sous la forme -^ et Tiden-

tité (10) prouve qu'il en est de même de y. Le système des équations (3) et (4) se réduit dans ce cas à l'équation (3) puisque l'équation (4) devient identique, les deux membres étant toujours nuls. On peut conclure de là que les équations proposées

5» gUBSTIONS D'ALU&BÂ^ ÉLBMENTAïaS

n'en font yéritablameat qu'une seule, mais on peut le démpatrer directement.

En effet, on a toujours comme dans le cas précédent

a' = ar, V = ftr,

mais comme aç! — ca' est nul, on a de plus

L'équation (2) peut donc s'écrire :

{ax + byy = or et n est autre, à proprement parler, que l'équation (1).

On n'a, par conséquent, à résoudre qu'une seule équaiioa à deux inconnues qui admet une infinité de solutions, et l'on

peut dire que le symbole — indique une indétermination

comme dans le cas de l'équation du premier degré à une inconnue.