SONT NULS EN MÊME TEMPS
ft9. Soient, par exemple, a et a' nuls en même temps. Supposons d'abord que 6, fe', et cV — bd ne soient pas nuls : cb' — fcc' étant représenté par m, les formules (5) et (Q) donnent
y = ir^ -^ =
Il n'arrive plus plors, comme dans le premier cas g^liéraU que les deux inconnues se présentent sous la même forme.
Si maintenant on fait directement à et a' égaux à zéro dans les équations (I) et (2), on obtient
by = c, Vy = c^, ou
et comme -r- est différent de jr- puisque cb' — bc' n'est pas
nul, les deux équations données sont évidemment contradictoires.
RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PRBMIBR DËGRK. 51
Soient maintenant à la ibis les trois égalités a = 0, a' = 0, ce' — b& = 0, b et V restant toujours différents de zéro, a? et y se présentent
alors tous deux sous la forme — • Mais, dans le cas actuel,
les égalités (1) et (2) s'accordent à donner pour y la même
valeur puisque Thypothèse : cb' — bcf égal à zéro conduit à -j-
égal à -rr • La valeur de œ reste d'ailleurs indéterminée. Ainsi,
quoique l'on ait trouvé — pour chacune des inconnues, une
seule est indéterminée.
Faisons enfin les hypothèses :
c et c' n'étant pas nuls. Les valeurs de x et y se présentent
encore toutes deux sous la forme — ; mais les équations sont
alors évidemment impossibles, les premiers membres étant nuls sans que les seconds le soient.
11 est évident que si on admettait en outre que c et & soient nuls, les équations se réduiraient à des identités.
Remarque. ^ On voit que ce qui fait la difiérence essentielle des deux cas généraux, c*est que dans le premier cas les valeurs des inconnues se présentent toujours en même temps
sous la même forme et que les symboles — et -jr- consiâérés
comme les symboles de Tindétermination et de Pimpossibilité conduisent toujours à des résultats exacts, tandis qull n*en est plus de même dans le second cas.
TTl
M. Si Ton considère — et — comme des valeurs limitesvers lesquelles tendent les inconnues x et y pour certaines limites déterminées de a, fe, c, a', b', c', et que -^ soit pris
comme symbole de l'infini et — comme une expression dont on trouve la limite par la règle du n* 54, on peut voir que dans
» VUESnONS UAUitBME ÉLÉM BNTAIBK
tous les cas les formules (5j et (6} donneront des valeurs exactes pour les inconnues.
Soit d'abord une des inconnues, y par exemple, qui se présente sous la forme -jr- . Si l'on suppose que aV — 6a' est
seulement très-petit, on pourra toujours, comme nous l'avons TU (56) arriver à l'équation (5) comme conséquence des équations (I) et (2), et cela sera vrai quelque peu que ai' — ba' diffère de zéro : ac' — ca' n'étant pas nul, la valeur de y tendra donc vers l'infini.
Passons maintenant au cas où une inconnue Se présente
sous la forme — . Les formules (5) et (6) donneront les vraies
valeurs des inconnues, quelque peu que cU/ — 6a' diffère de zéro : donc. on obtiendra la vraie valeur d*une inconnue qui se
présente sous la forme — en cherchant sa valeur limite
d'après la règle du n* 54.
Faisons l'application de ce qui précède à quelques-uns des cas que l'on a rencontrés dans la discussion.
f On a
a = 0, o' = 0, bc^^d/^Q.
La valeur de x se présentant sous la forme -rr- , on en conclut
immédiatement que cette inconnue est infinie. Quant à la
valeur de y qui se présente sous la foruie —, ou va voir si
elle est indéterminée ou non.
D après la règle du n* 54 on pose
a = ft, a' = ph et en substituant h kaetphh a' dans la formule (5), on obtient
h{& — cp] c' — cp
y — fi^ty —,bp) — 'b''Zrbf'
Comme c' — cp n'est pas égal kb' — bp puisque bc' — c6' est différent de zéro, la valeur de y simplifiée autant que possible contient l'indéterminée p et n'est pas, par conséquent, déterminée.
2* On a
a = 0, a' = 0, bc' — cb'=zO.
On pose alors
cb' . . !
En substituant ces valeurs dans la formule (5), on obtient successivement
c{b' — bp)+r/bh
h{y -. bp) b{b' — bp)
faisant maintenant h égal à zéro et supprimant le facteur commun 6' — bp, on a
comme on devait le trouver.
Un calcul semblable donnerait
et comme p et ^ sont indéterminés, il en est de même de la valeur de œ.
Pour vérifier Jes résultats de la discussion générale et surtout pour bien se rendre compte des valeurs singulières qui peuvent se présenter, il faut considérer les équations (1) et (2) comme représentant deux droites, et a? et y comme étant les coordonnées du point d'intersection de ces droites. Le cas, par exemple, où a et a' sont nuls sans que bc^—cb' le soit, correspond au cas de deux droites parallèjes à Taxe des x, et Ton voit bien qu'alors Fabscisse du point d'intersection des deux droites est infinie tandis que la valeur de y ne peut pas être déterminée.
M. Â défaut de Tinterprétation géométrique dont il vient d'être parlé, je vais donner deux problèmes dont la discussion reproduira les principaux détails de la discussion générale de deux équations du premier degré à deux inconnues.
Problème I. — Deux courriers qui parcourent d'un, mouvement uniforme une droite XY (fig. 3), dans un sens ou dans huire\sont en même temps aux deux points et A. : on
54 QUESTIONS D'ALGÈBRE ËLÉMENTAIITE.
demande en quel point de la droite et à quelle époque ilâ se renœntrent.
Prenons pour origine des distances le point O et pour orig^ie du temps Tépoque où les deux courriers sont ensemble aux points et A. Soient a la distance OA, t; et t/ les vitesses des courriers qui se trouvent respectivement en et A à l'origine du temps, t le temps qui s'écoule depuis cette origine ju8<pi*& la rencontre des deux courriers en un point R, et a? la distance OR. Si Ton donne kVjV'jXett les mêmes signes que dans le problème II (39), (a est supposé positif parce qu'on peut toujours appeler celui des deux points O et A qui est à gauche de l'autre), on a en appliquant la formule générale du mouvement uniforme (39)
(I) x = vt, (2) x = a'\'V't.
Dans la formule (I) le second membre se réduit à vt, parce que, le premier mobile étant en à l'origine du temps, la quantité désignée par a dans la formule du n"" 39 est nulle.
Les équations (1) et (2) conduisent évidemment aux formules
qui.sont aussi générales qu'elles-mêmes.
DISCUSSION
On peut distinguer deux cas principaux suivant que lés deux courriers se meuvent dans le même sens ou en sens contraire.
Premier cas. — Les deux courriers se meuvent dans le même sens. Les deux courriers marchant, par exemple, dans le sens XY, on devra prendre v et v' positifs : on est ainsi conduit à diviser le premier cas en trois.
l"" On a v> v^. Alors les valeurs de xeti données par. les formules (3) et (4) sont positives, et, d'après rinterprétation qu'on, doit donner aux signes, la rencontre a lieaà droite de et après le passage des courriers en et A : c'est ce que Von pouvait prévoir puisque les deux courriers étant ensemble en et A et marchant dans le sens XY doivent se rencontrer à droite dô A.
2* O/i a i; < v\ On trouve alors pour œ et t des valeurs négatives : par suite, d'après l'interprétation qu'on doit donner aux signes, la rencontre a eu lieu, à gauche de 0, avant l'ar-
tivèé des courriers en O et Â. C'est ce qui est encore Aridént à priori.
3* Ofi a v=itv'. Suivant que a est nul on non lê% diiftix
inconnues se présentent ensemble sous la forme -jr- ou -jr- .
Ainsi, d'après Tinterprétation ordinaire des symboles, quâtnd a ii*est pas nul la rencontre est impossible, et quand a est nul ta rencontre à lieu en un point quelconque de la droite. Ces conséquences sont bien celles auxquelles on serait arrivé direfetement.
Deuxième cas. — Les deux courriers marchent en sens contraire. Supposons, par exemple, que le premier courrier marche dans le sens XY et l'autre en sens contraire : on devra toujours considérer t; comme positif, mais v' sera négatif. On voit (jue dans ce cas les formules (3) et (4) donnent des valeurs positives pour ar et y et pour x une valeur plus petite que a puisque V — v' est plus grand que v. La rencontre a donc Kèu entre et A, et c'est ce qui était bien évident sans calcul.
Problème II. — Inscrire dans un triangle donné ABÔ (fig. 4) un rectangle DEFG, tel que la somme DÉ + DG cfésa base et de sa hauteur soit égale à un nombre donné p.
Soient b et h la base AC et la hauteur BH du triangle et œ et 2/ la base DE et la hauteur DG du rectangle : on a d'abord
Pour avoir une seconde équation on écrit que dans le^ triangles semblables BDE, ABC les bases DE et AG sont proportionnelles aux hauteurs BI et BH : on obtient ainsi
ou
Rén^Tant ensuite les équations (I) et (3), on arrive aux formules
w ^= h-b - <^> y—hzrr'
Ôii voit immédiatement que les signes de x et j/ dépendent de
&6 QUESTIONS O'Aii&àBfiË ÉLÉMENTAIRE.
rordi*e i*elatif des trois quantités b^ A, p et Ton est conduit à distinguer trois cas suivant que p est compris entre ft et A, b .compris entre h etp^ ou h compris entre 6 et p : les cas singuliers où deux des quantités b, h, p ou toutes trois sont nulles seront ensuite traitées à part. Ici, les valeurs négatives de x ou de y ne seront pas rejetées comme impossibles mais interprétées de la manière suivante.
Bi Ton trouve pour y une valeur négative et, par suite, pour X une valeur positive, x -{-y représentera dans réquation la différence entre la base et la hauteur du rectangle. D'autre part, si l'on change, suivant la méthode d'interprétation des solutions négatives, y en — y dans l'équation (2) on a l'équation
.qui correspond évidemment au cas d'un rectangle D'E'F'G' lont Tune des bases D'E' est au dessous de la base ÂC du triangle. On serait du reste arrivé immédiatement à l'interprétation de la valeur négative de y d'après l'application du théorème de Descartes généralisé (38) en projetant d'abord la hauteur du rectangle sur BH. En résumé on voit que la solution négative y correspond à ce nouvel énoncé : déterminer un rectangle ex-inscrit à un triangle ABC, l'une des bases du rectangle étant aie dessous de la base AC du triangle, lorsqu'on connaît la différence entre la base et la hauteur du rectangle.
Nous appellerons solution du second genre la solution qui correspond au nouvel énoncé, la solution dans le sens précis de l'énoncé étant dite du premier genre.
Supposons maintenant que l'on trouve pour x une valeur négative. L'équation (1) apprend d'abord que c'est la différence eiitre la hauteur et la base qui est donnée: et comme en changeant X en —X dans l'équation (2), on a
— ; — = — r-^ ou — == -^
on voit qu'alors l'une des bases du rectangle est en E'''D'' au dessus du sommet B. On aurait pu encore aiTiver à cette dernière conclusion par l'application du principe (38), car si Ton projette E'^'D^' suivant ke" au moyen de la parallèle W&' à AB, la longueur he^^ est comptée dans le sens des ^ négatife.
On appellera solution du troisième genre la solution qui correspond à x négatif. ;
DISCUSSION
Premier cas* — p est oomprl» entre 6 et h, — AlOfS
suivant que h est plus petit ou plus grand que 6, on à
h<p<b, ou
mais, dans un cas comme dans lautre, les valeurs de x et 2/ que donnent les formules (4) et (5) sont positives et Ton obtient une solution du premier genre.
On peut, du reste, vérifier facilement par la géométrie que, pour obtenir une solution du premier genre, il faut que p soit compris entrée et A. Supposons, par exemple, que h soit plus petit que b et que l'on veuille démontrer que p est plus grand que h. On remarque que, AC étant plus grand que BH, à cause de la similitude des triangles BDE, ABC la base DE est plus grande que la hauteur BI. Par conséquent on a
