CHAPITRE VllI
CALCUL DES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ. - ORIGINE DES QUAN TITÉS IMAGINAIRES ET CALCUL DE CES QUANTITÉS.
Avant de commencer la résolution des équations da second degré, je vais donner la démonstration de quelques théorèmes dont l'application se rencontre souvent dans les calculs.
M. TnÉORèMB I. — Le produit des racines carrées de deus nombres est égal à la racine carrée de leur produit. . On veut démontrer Tégalité
(I) v/'ô'x V"6 = V ofeT
à cet effet, élevons au carré les deux membres : le carré dé V ùh
est évidemment ab et le carré de yfa xyjb est aussi égal à rt8 puisque le carré d'un produit est égal au produit des carrés des facteurs. Mais les carrés des deux membres de Téquation (I] étant égaux, il en est de même des deux membres.
GoROLLAiRB. «^ On fait eutrer une quantité sous un radical do second degré en mettant son carré sous le radical, et, réciprch quement, on fait sortir une quantité d'un radical du second degré en mettant la racine carrée de cette quantité en avant du radical comme son multiplicateur. En effet, on a
a yJT= yjlfix yJT= V a^.
•1. Théob&me II. — Le quotient des racines carrées de deux nombres est égal à la racine carrée du quotient de ces nommes,
U faut démontrer que l'on a
«0 QUESTIONS D'ALGEBRE KLR]fE!(TAIRS.
En effet, les carrés des deux Dombres sont tous deux égaux
). Théorème III. — Lcffsqu une fraction contient à wn dénominateur des radicaux du second degré en nombre quelconque, on peut toujours la remplacer par une fraction égale qui ne contienne plus de pareils radicaux.
fn
Soit d'abord la fraction . En multipliant ses deux
a + VT
termes par a — \ b ,on obtient la fraction ^ , — ciont
le dénominateur ne contient plus de radicaux.
fn Soit maintenant la fraction — — . On fera dis-
paraître d*abord le radical v^ au dénominateur en multipliant
les deux teiines de la fraction para+Vc +V^ ? car le nouveau dénominateur étant le produit de la somme des quantités
a -j- Vc et v^par leur différence sera égal à la différence de
leurs carrés, c'est-à-dire k a — 6-|-c + 2a V^- Multipliant
ensuite les deux termes de la fraction par a ^^^b-^-c — 2 ^ac, on arrive au dénominateur rationnel (a — i-j"^)* — ^^^*
Voici maintenant la méthode générale pour faire disparaître les radicaux quel que soit leur nombre.
Si ^ir est un radical qu'cm veut foire disparaître, le premier ou à un rang quelconque, on le met en facteur au dénominateur dans tous les termes qui le contiennent: le dénominateur
prend alors la forme P + Q ^TTl P et Q étant des quantités
rationnelles ou irrationnelles qui ne contiennent pas V * • On
multiplie ensuite les deux termes de la fraction par P — Q^ k et le nouveau dénominateur P* — Ç^k ne contient plus le radical vTOD'ailleurs la multiplication que l'on a effectuée ne faisant pas apparaître de nouveaux radicaux, on voit qu'on pourra faire disparaître tous les radicaux en appliquant la méthode successivement à chacun d*eux.
•S. Théorème IV. — Quel que soit le nombre des radicaux du second degré dans une équation^ on peut toujours les
GALGUL DES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ. 6i
faire disparattre en élevant plusiems fois au carré les deux nombres de cette équation.
Eu effet, soit ^ k ïq radical qu'on veut faire disparaître, le calcul commençant ou non par ce radical. On met d'abord Té* quation sous la forme
P et Q étant des quantités rationnelles ou irrationnelles, mais
qui ne contiennent pas yfir. Alors, . isolant — Q V A dans le second membre et élevant au carré les deux membres, on obtient l'équation
qui ne contient plus le radical yj k .
On voit bien qu'on pourra ainsi faire disparaître successivement tous les radicaux.
M. Théorème V. — Un nombre positif a toujours deux ra^ cines carrées égales et de signe contraire et il nen a que deux.
Il est évident qu'en algèbre un nombre positif a est aussi
bien le carré de — \/ a que de + V^ ®' d'ailleurs a n'a
pas d'autres racines carrées que + V a et — )/ a^ car si on élève au carré un nombre dont la valeur absolue est plus petite
ou plus grande que -^ ^ a^on obtiendra un nombre plus petit ou plus grand que a. On peut encore donner la démonstration suivante :
Soit a: le nombi*e qui est la racine carrée de a, on a, par définition
d'où l'on déduit^ ' '
- x^ — a = ou (a? — V ût) (a?-|- v/"â*) = 0,
et il est clair qu'un produit de deux facteurs ne pouvant être nul qu'autant qu'un des facteurs est nul, on ne peut satisfaire
à l'équation précédente qu'en prenant x égal ^ -}-}/ a oa
DES QUANTITÉS IMAGINAIRES, 63. Origine clea quantiléa ima||liialrea» — Si une
«iî QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE.
expression ^ c — d se présente en algèbre et que c soit plus petit que d, on est conduit à extraire la racine carrée d'une quantité négative. Mais cette racine n'existe pas, puisque le carré d*un nombre positif ou négatif est toujours positif. Gependant, pour conserver à TAlgèbre son caractère ordinaire de généralité, on a laissé subsister dans les calculs les racines carrées des quantités négatives comme symboles opératoires et on leur a donné le nom de quantités imaginaires. Une exprès*
sion de la forme a it V -— 6* dans laquelle a est un nombn réel positif ou négatif et b* un nombre positif est dite encore une quantité imaginaiie.
