Résle spénérale du ealoul Aem imasiuaif*<w

Elle se réduit à ce simple énoncé : appliquez aux imaginaires les mêmes règles que si elles représentaient de véritables quaiitités. Comme première application de la règle on voit d*abord

que le carré de V — ^^ est — 6*. On remarque aussi que, 6* étant le produit de 6* pai- — - 1, si Ton applique le théorème I (60), on-a

v/ ^ir&«"= V ft' X — 1 = à V "^^^nr

Alors une expression imaginaire sous sa forme la plus générale pourra s'écrire : a±b ^ — 1 ou encore a + bi en représentant V — 1 par i. Dans le calcul, a + &* sera traitée comme une quantité réelle, seulement il faudra observer que Ton a, d'après la règle générale,

et que les puissances de i se reproduisent ainsi, indéfiniment, dans le même ordre de quatre en quatre.

<I9. Restes des quatre opératlous élémenialres* —

Elles sont représentées par les identités suivantes :

(1) (a + bi) + (a' + b^i) = a + a' + {b + b%

(?) (a + bi) — (a' + b'i) = (a — aO + (ft — b'y. (3) {a + bi) {a' -f- b'i) = {aa' — bb') + {ab' + ùa/)l.

u) ^+^^ ja+bi) (a^~ b'i) aa'+bb' aV—baf^

On obtient les égalités précédentes en effectuant les opérations d'après la règle générale (66) et en ayant soin de rempla-

CALCUL imS RADICAUX DU SECOND DEGRÉ. 6)

cer t^ par — 1. Pour la division on a multiplié les deux termes

de la fraction — , , ,,. par a' — 6'i pour que le dénominateur

devint réel. On voit que les quatre opérations élémentaires exécutées sur des quantités imaginaires de la forme a -j-^^^ conduisent à des imaginaires de même forme. En Algèbre supérieure on démontre que la racine d'indice quelconque d'une quantité imaginaire a -{- ii est une imaginaire de cette forme et ce théorème beaucoup plus général : une équation d*un degré quelconque, dont les coefficients sont réels ou imaginaires de la foi^me a -{- bi, a toutes ses racines imaginair^^ de la même forme.