DÉFINITIONS
us. Quantité imikfiifiaiffH» nulle. — Une quantité imaginaire a-\-bi est dite nulle lorsque a et 6 sont nuls en mêjpa^ temps.
II9. Module d*une quantité tmaslnairc. — On appelle
module d'une imaginaire a -f bi la quantité V^* + ^*» I^ ®** évi4eot que lorsque le module d'une in^aginaire est nulle, l'imaginaire elle-même est nulle et réciproquement.
!•. Quantité» Imaginaire» ésAlev. — Deux quantités imaginaires comme deux quantités réelles sont égales lorsque leur différence est nulle. Ainsi si a -f- bi et a' rf- ^'i sont l^s deux quantités imaginaires égales on devra avoir
a — a/+(6 — 60i=r=0, Mais d'après la définition (68) on devra avoir
a = a', b =:b\ donc lorsque deux quantités imaginaire» soni égales l^^ p^rtifif réelles sont égalas ainsi que les coefficients dç V -*^ K
'91. 4t««n&Méi» InA^ffln^ir^s» éipalea et tlp ^M^um contraire. — Il n'y a pas lieu de distinguer les quantités imaginaires en positives et négs^tives. Cependant il est utile pour la généralité des énoncés de certains théorèmes d'appeler quantités imaginaires égales et de signe contraire A^\xx q\x9Jiii\é^ imaginaites dont la sQmine est nulle, la définition est alors I4 même pour les quantités réelles ou imaginaires. Soient, j^fr
64 gUEBTlONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
exemple, les deux quantités imaginaires a-^-bi et a' -|- l/i égales et de signe contraire, on devra avoir par définition
a-{-a'-{-{b + by = 0, d'où Ton conclut (68)
a' = — a. f = — 6, on peut alors écrire
a' + 6'i = — a — fti = (— 1) (a 4- bi).
De là on déduit une conséquence importante; Elevons à la puissance m les deux membres de Tégalité précédente, et
concevons que les puissances (a' -f" ^*0"* ^^ (^ + ^0** aient été développées d'après la formule du binôme et ramenées à la forme ordinaire des imaginaires. On voit que, a- désignant une
imaginaire de la forme a-\-bi, x^ et ( — ar)* seront des quantités égales ou égales et de signe contraire, suivant que m sera pair ou impair.
Ht. Théorâmb I. — Le module d'un produit de facteurs ima^ ginaires est égal au produit des modules.
Considérons d'abord le cas de deux facteurs a -f" bi et a' -|- bH. Le module du produit sera, d'après l'identité (3) (67),
V {aa' — bby + {ab' + ba% Mais par un calcul facile on trouve
\f aa' — bby + {ab' + ba'y = v(a« + 6*X v/a'»+6'«,
et le théorème est démontré. On l'étend maintenant au cas d*un nombre quelconque de facteurs par le raisonnement ordinaire, en faisant voir que, s'il est vrai pour m facteurs, il est vrai pour m -f- i facteurs.
9S. Théorème II. — Pour qu'un produit de facteurs imaginaires soit nuly il faut et il suffit qu'un des facteurs ^it nul\
En effet,, pour que le produit soit nul il faut et il suffit que son module soit nul. Mais le module d'un produit étant le produit des modules des facteurs ne peut être nul qu'autant qu'un de ces modules est nul, et ce module lui-même ne peut être nul que si le facteur est nul. Le théorème est donc dé» montré.
