ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE ET ÉQUA

TÏ0N9 QUI 8'^ RAMÈNENT,

9A. L'équation du second degré à une inconnue peut U>u* jours se ramener à la forme

ax* -|- te -f- c = 0,

a, b, c étant des quantités positives et négatives. Cette équation se résout immédiatement dans deux cas particuliers. Premier cas. — c est nui. — Alors Téquation se réduit à

ax^ -}- bx=zO ou x{ax -f^ ^) = 0,

et elle est évidemment satisfaite par x égal à zéro et x égal à ^

a Ueuxi&me eas. — b est aûl. — L'équation est alors

ax* -}- c = ou a;* = ,

et on sait qu'elle a deux solutions égales et de signe contraire,

réelles si — est positif, imaginaires si — est négatif (64 et

74). Comme ces solutions s'obtiennent par des extractions de racines on les appelle racines, et désormais on désignera ainsi les solutions des équations.

Quand c est nul, Téquation n'a plus qu'une seule racine égale à zéro, mais comme on peut concevoir que cette racine est la

limite vers laquelle tendent les deux quantités -^ \y/

ËQUATIONâ DU SECOND OMItft. 97

et — \/ , on dira que Tôquation a deux racines égales

ou une racine double.

V6, Révolution de l'équnilon g^énérale du second

degré. — Ou remarque d'abord qu'en vertu de l'identité

si Ton donne un binôme m'^x'^ -fr imnx dont les deux termes. sont respectivement du second et du premier degré en x^ casf deux termes peuvent être considérés comme les deux premiers termes du carré d'un autre binôme mx -j- n. Le premier terme; ma? de ce binôme s'obtient en extrayant la racine carrée du premier terme m^a?** du binôme donné et le second n est le quotient du second terme donné 2mnx par le double 2mœ du premier terme obtenu mx.

Gela posé, pour éviter les radicaux et les fractions dès le début du calcul, multiplions par ia les deux membres de l'équation ^ - 1

et isolons le terme coniio dans le second membre, il viendra

(2) 4a*£c' + 4«far= — iac. - . ^.

(kawidérons maintenant ia'^a^ et iabx comme les deux premiers termes du carré d'un binôme : d'après ce qui a été dit précédemment, ce binôme sera 2ax-|- 6, et en ajoutant 6* aux deux membres de Téquaiion (2) cm aara dans le premier terme de l'équation (2) le carré complet du binôme 2ax-|- b. On peut donc écrire

(3) {2ax -f 6)« = i« - 4«c,

ou en posant ,

(4) 2ax + b = y, . . . • :

(5) ^ ' y« = ô> — 4ac,

mais en vertu dés théorèmes (64) et (74) Téquation précéiferite a toujours deux racines égales et de signe contraire, et Ton a

y ==±: V^*-^4a(?, et, par suite, à cause de Téqualion (4), on obtient la fortn^le-

4(i gUI%TI(M(8 IVALGÉBRE ÉLÉMENTAIRE.

Comme réguation (5) n'a que deux racines, il en résulte que Téquation (1) elle-même n'a que deux racines. D'après la formulé (6}, elles sont réelles et inégales quand $* — 4acest positif, et imaginaires quand b^ — Aao est négatif. Quand b^ — 4ac est nul on est conduit, comme dans le cas particulier dû' 'ri* 75, à dire que l'équation (1) a deux racines égales on tinè racine double.

On peut remarquer que, dans le cas ou b^ — iac est négatif, les racines imaginaires sont de la forme a + pi. En effet on

peut poser "7 égal à «, et Ton a

V 6* — 4ac V 4ac — b* .

ou en posant — égal à ]S,

— = pi.

99. Bbharque. — Lorsque a, b, o sont des nombres entiers et que b est un nombre pair 2b\ la formule générale (6) (7jS) prend la forme plus simple

si de plus a est égal à 1, on a .

(2) ar = --6'±V^6'^ — c.

On peut remarquer que, bien que les formules (I) et (2) rie soient utiles que dans les cas indiqués, on peut encore les appliquer lorsque les coefScients de Téquation générale sont des fractions, W désignant toujours la moitié du coefficient du terme en a;.

Les formules qui donnent les racines de l'équation du second degré conduisent au théorème suivant:

9j|,v Théorème.. — Dans toute équation du second degré.