NOTIONS PRÉLIMINAIRES

puis en retranchant b des deux nombres 2x-\-beta et divisant les deux différences par 2, on obtient

on a ensuite

La solution générale du problème est donnée par les égalités

En traduisant ces égalités en langage ordinaire, on arrive à la règle générale suivante :

Etant données la somme et la différence de deux nombres^ le plus petit et le plus grand s'obtiennent respectivement en prenant la demi-différence et la demi-sommedes deuxnombres donnés.

Les égalités, telles que les égalités (1) et (2), qui donnent la solution générale d'un problème en sont dites les formules,

Z. L'emploi des lettres et des signes est indispensable pour obtenir cette généralité qui est le caractère propre de l'algèbre, mais il importe aussi de remarquer que la notation algébrique présente aussi cet avantage de simplifier l'écriture et le langage, et, par suite, rend les raisonnements plus faciles à suivre.

3. Les formules d'un problème établissant des relations entre des nombres donnés ou inconnus, sans qu'aucune distinction entre eux soit nécessaire, on comprend que plusieurs problèmes puissent être résolus à l'aide d'une même formule. Ainsi, on a vu en arithmétique que, si Ton désigne para un capital, par r le taux pour franc, par t le temps du placement rapporté à l'année et par i l'intérêt du capital a au taux r et pour le temps f , l'intérêt i se calcule par la formule

i = art.

Mais de cette égalité on déduit les trois suivantes :

rt ' at ' or '

et quatre problèmes sont résolus en même temps.

Axiome et principes fondamentausi en al^^bre*

En algèbre, comme en arithmétique, on admet les principes suivants :

1 . La somme de plusieurs nombres a une valeur indépendante de l'ordre des additions.

2. Au lieu d'ajouter à un nombre donné ou d'en retrancher une somme de plusieurs nombres, il revient au même d'ajouter ou de retrancher successivement les différentes parties de la somme.

3. Lorsque plusieurs nombres sont liés entre eux par les signes -{-et — , on peut faire les additions et soustractions successives dans tel ordre que Ton veut, pourvu que les soustractions qui se présentent soient toujours possibles.

Le premier principe est un axiome qu'on ne peut démontrer, mais les deux autres s'en déduisent avec la plus grande facilité.