APPUCATIONS DU THÉORÈME PRÉCÉDENT £T DE SA BÉGIPROQUE

99. P€>niier une ëquatlon du «ecoiMl éLég^é qitl ad» MiaiM poui* rtietaèa deux n^aaîhpem donné»* »-^ fik l68

70 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉH&HTÀIRK.

deux Bombrefi sont entiers, 3 et — 5 pav exemple, oo poatrt

supposer a égal à 1 et Ton aura

6 = — (3 — 5) = 2, c=— 15, et Téquation demandée sera

Soient maintenant deux nombres fractionnaires -n- et -r- , on

aura

b ^il c 6

•et, par suite, Téquation demandée est

9#. Déterminer» et la rae de Inéquation du ae^and degré» les slsnes des racines quand elles sont réelles»

— Soit d'abord l'équation

3a?* — 4iP — 5 =: 0,

'le p^mieret le dernier terme de l'équation étant de Signe contraire, — 4(zc est positif et, par suite, il en est de même de b^ — 4ac ; les deux racines sont donc réelles et inégales. Elles

sont d'ailleurs de signe contraire puisque leur produit — -h-

est négatif. On peut remarquer encore que, la somme des ra-

cines étant — , la racine positive est plus grande que la valeur

absolue de la racine négative.

Prenons maintenant comme second exemple Téquation

La quantité b* — iac étant égale à 37, les deux racin^es soat

réelles et inégales. Leur pioduit étant —, elles sont de

même signe, et comme leur eomme est —, elles sont toutes

deux positives.

Les deux exemples pi"écédents suffisent pour montrer com- Bdjçnt çn (îp,it jrocéder dan^ tpuale^ ca^.

' Éd. -P.MMÉMi> *£aifmimttt, Étm ^êtiên-êm '€ûÊfiici$m$i^ ée

ÊQCAtrONS DU SECOND DEGRÉ. 71

Féquation générale du second degré, la somme âês mêfnes

puissances des racines.

Pour plus de simplicité dans les calculs, nous ferons a égal à

i dans l'équation générale du second degré. Ôi Ton veut ensuite

trouver les formules dans le cas 6ii a est un nombre quelcon-

qoe, il suffira de remplacer dans les formules obtenues b eic

, b ^ o par — et — • '^ a a

Soit donc l'équation

m étant un nombre entier quelconque. En multipliant les deux aoBibres de l'ô^piation précédente par oT"*, on a

Si Ton remplace ensuite dans cette équation x par les deux racines x' et x'^ et qu'on ajouté, membre à membre, il vient

Ou encore

(2) x^ 4. a/'" = - 6(y""' + ^'"""'; - oix'"^ + x'"^").

Dei Vk eeftte fèg^le : p(Mr obéenir la mfnfht des mêmes finissanœê des deux raeines de t équation du second degré mise sous la forme (1), muUifliez respectivement par — b et — c /a somme précédente et la somme qui précède cette dernière. Gomme on connaît les somsiés des deux premières puissances, c'est-à-dire x'^ + x'^^ et a:' -f œ^^, en procédant de proche en proche, on obtiendra les sommes de toutes lee laêmes puissances des racines. Je vais faire le calcul jusqu'à la cinquième puissance inclusivement. On a le^ formules

a">J^af^ — 2,

af-i^i^ — ^b,

j/«-far**«:ft» — 2<;,

jf*X.x"i—H-. ib^c + 2c».

a-'» 4- x>^ = fts + Si'c — i

ÏVmr lés eWéftir on a d'abord écrit les formules (3) et («> ; en a eu ensuite la formule (5) en multifdiaitit suivant ht r6gl« ~ b |^-^fr<df^SiÉtf-^# 0l4^tâÉtiMf»«diii!lsi,JàllK^

72 QU£6TiON& O' ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

maltipUaût 6* — 2c par — b -puis — b par — c et ajoutant les produits ; et ou a continué en appliquant toujours la même règle,

PROGRAMME

Limites vers lesquelles tendent les raeiiies «le t*é' quatloit du second degré quand a tend vers séro* —

Oa fait voir que Tune des racines tend vers — r — et l'aiitre vers

l'infini. Quand a et 6 tendent simultanément Ters zéro, les deux racines tendent toutes deux vers Tinfini.

Calcul des racines de Téquation du second degré quand a est trèspetit.

Résolution des équations qui se ramènent h Inéquation du seeond de§pré«

!• Résolution de Téquation bicarrée

aoc^ + ^«^ + c = 0,

en prenant une inconnue auxiliaire y égal à x^. — On t'ait voir que Téquation a quatre racines» deux-à-deux égales et de signe contraire, toutes les quatre réelles ou imaginaires, ou deux réelles et les deux autres imaginaires.

2** Résolution des équations réciproques jusqu'au cinquième degré inclusivement Après avoir supprimé les facteurs â; — 1 çt s 4* t qui

peuvent se rencontrer dans l'équation on pose x-\ égal à y. :

3° Résolution des équations binômes de la forme

pour les valeurs de m jusqu'à 6 inclusivement. - 4<» Résolution de l'équation . ' . !..

On pose a?"* égal à y.

8)> . Transf ormer une expression de la forme

± V ^ i V ^ «n une aittre de la forme ±^ X±^ y lorsque la transformation est possible* '— Les expressions de la forme ± y ^^ db V 6 se présentent souvent en algèbre, spécialement dans la résolution de l'équation du quatrième degré : on comprend qu'il soit utile de les transformer en expressions plus simples.

Nou9 Aouç iLppuierons sur \e, iemine i^iïapt : Itmqm deux