ÉQUATIONS DU'SBOOND DEGRÉ

quantités a ± V b^ef a' ± yj'Wsont égales pour des valeurs rationnelles des quantités a, b, a', b' on a séparément

a = a', ±,\fb=±W, • ::y

(dans la dernière égalité les signes supérieurs sont pris ensemble et de même les signes inférieurs).

On a, ■ par hypothèse,

a±:\l bz=za'± y/Y;

Si alors on isole le radicpl ±\l b' dans l'un des membres et qu'on élève au carré les deux membres, on obtient

{a-^a'f + 6 ± 2(a — a') \J 6"= b\ Si a — a' n'était pas nul, on tirerait de l'égalité précédente

ib =

bf — b — {a — aj

et Ton aurait une quantité irrationnelle égale à une quantité rationnelle : a est donc égal à a', et l'égalité

se réduit à

± )JT= ± yf¥,

les signes supérieurs ainsi que les signes inférieurs étant pris ensemble. . .

l^evenons maintenant à la question proposée, et posons

(1) ±\l a± \IT= ±yJ'x±^Y.

En élevant au carré les deux membres on obtient

(2) . a±>fb'=x + y±2yjlôy^

et Ton voit d'abord que V ^y doit être irrationnel puisque autrement \fi serait rationnel. Mais en vertu du lemme, on doit avoir

(3) x^y = a, (4) ±2\/l^=±\/X Elevant au carré les deux nombres de la dernière, on a

(5) <cy = -j'

94 QUfiÔttÔKiS D'ALGÈÔftE ÉLÉMENTAIRE.

Lee deu^ noinbi*es œ ety sont dtonc les racinet de ré(}utlion

4X«-4aX + ô = 0, où X représente Tinconnue. On en tire

(6) ^~XJL ^ y= ï ,

j? désignant la plus grande des deux racines. Mais les valeurs des inconnues devant être rationnelles, le nombre a* — 6 doit •être un carré : on arrive ainsi à la règle suivante pour déterminer X et y lorsque le problème est possible. Calculez la différence entre les carrée des deux quantités a

et ^ qui se trouvent sous le grand radical: si cette différence f^Él un carré^ la transformation est possible. Prenez alors la racine carrée du dernier nombre calculé a* — b, ajoutez4a au nombre a et prenez la moUié de la somme, vous aurez le plus grand nombre x. Le plus petit nombre s^obtient ensuite en prenant la demi-différence des mêmes nombres. Voyons maintenant comment on détermine les signes de V x

et Vy • Pour cela, remarquons que l'identité (1) pouvant s'écrire

» Il <

Vu II m .11 1« a±\Jb'^±{^T±\/J),

et v^ étant, par hypothèse, plus grand que V^i le signe en dehors de la parenthèse daûs le âécoiid membre sera le môme que le signe qui précède le grand radical dans le premier

membre. Reste maintenant à déterminer le signe de yfy .

Le signe du terme 2 >Jœy est positif ou négatif dans l'équation (2) suivant que y/x et Vî/ sont de même signe ou de-signe contraire dans l'équatioa (1), ou, ce qui revient au même, suivant que V y est positif ou négatif dans réquation (7). Mais, 'd'autre part, diaprés l'équation (4) et en vertu du lemine, le signe

de 2 V W est positif ou négatif suivant que^b est précédé du signe -f- ou du signe -^ dang Téquation (1) : donc daûs l'é-

quatioù (7) on doit prendre vrjTavec le signe 4- <5u ïe signe ^—

suivant que dans Texpreçsion donnée vTï" sera précédé du signe -j- ou du signe — .

ÉQUATIONS DU SECOND DEGftÉ. - 7h

M. THÉOftÈfttB. -^ One maffinahv a -f^ M «i toujours deui: racines carrées de la même forme ^ égales eè de iipM cén^réirë. Posons

^ a^kitizx^yi, en ^vant au carrt^ les deux membres, on a

a + 6i = a?* — î/* 4" 2xyi, et, par suite, (70;

(2) x*^y^ = a, (3) 2xy = b.

De Téquation (3), on déduit

ar* et — y* sont donc les racines d'une équation du second degré

(4) 4X« — 4aX — é* = 0.

On en tire

on a attribué à — y* la racine ^-^ — , car autrement — t/* aurait été positif et par suite, y imaginaire. On a ensuite pour a? et j/ les valeurs réelles

seulement les signes de deux grands radicaux doivent être convenablement associés.

Si b est positif, l'équation (3) montre que les deux grands radicaux doivent être pris avec le même signe ; on peut d'ailleurs prendre le signe -}- on le signe — puisque dans les deux cas les équations (?) et (3) sont satisfaites.

Si b est négatif, les deux grands radicaux devront être pris avec des signes contraires'en vertu de l'équation (3), et on peut donner le signe + à celui des deux que l'on veut, les équa* lions (-2) et (3) étant toujours satisfaites.

Le théorème proposé est démontré et Ton voit en méma

temps comment doit être fait le calcul de transformation. Je vais donner \m exemple.

Soit à résoudre l'équation

en la considérant comme une équation bicarrée, on trouve -

En comparant cette expression à l'expression générale ^Or^bi^

a = 0, fc=±l; alors si l'on applique les formules (5), on obtient

donc