CHAPITRE X

SYSTÈME D'ÉQUATIONS DONT LA RÉSOLUTION SE RAMÈNE A CELLE D'ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE.

M. (Byatéme de deux équations» Pune» du premier

degré, l^autre» du second. ^ Les deux équations, sous leur forme la plus générale, sont

(1) ma: + ^y + P = 0»

(2) ai/* + 6j7y + ^* + ^y + ^^H"/^=0- De la première on tire

et en substituant cette valeur dans Téguation (2) on obtient une équation du second degré en x. Cette équation donne^ pour X deux valeurs, et en substituant chacune d'elles dans Téquation (3) on trouve pour y une valeur correspondante. Le système proposé admet donc, en général, deux solutions.

Si le coefficient de x* dans Téquation résultant de l'élimina* tien était nul, cette équation admettrait une racine infinie, et l'équation (3) donnerait pour y une valeur infinie correspondante. Ainsi, dans ce cas, il y aura encore deux solutions, mais l'une sera formée de deux valeurs infinies par x et y.

M. (Bystéme de deux écfuatlona du second décoré &

deux inconnuee. — On a les deux équations

(1) ay* -{-bxy '\-cx'^-\'dy-\-cx'\'f=iO,

(2) ay + b'xy + c'x + d'y + e' j? + /*' = .

On pourrait tirer la valeur d'une des inconnues de y, par exemple, en fonction de l'autre, en résolvant Tune des équations données comme une équation du second degré en y. On

substituerait ensuite la valeur de y dans la seconde équation donnée. Mais le calcul serait compliqué d'un radical, et il vaut mieux procéder comme il suit.

On multiplie les équations (1) et (2) respectivement par a' et a, puis on retranche, membre à membre ; on a ainsi

(3) (ay— to')a?y + (ac' — caOa?* + (ad' — daOy+C^— ^<*>

Le système des équations (1) et (3) étant équivalent au système des équations (1) et (2), on résout l'équatioa (3) par ra^^ port à y comme équation du premier degré, et on substitue la valeur obtenue pour y dans l'équation (l). Tout calcul fait, on est conduit à une équation qui sera généralement une équation complète du quatrième degré que nous ne savons pas résoudre. Mais si l'équation est bicarrée ou réciproque elle pourra être résolue et on trouvera pour x quatre valeurs. Alors l'équation (3) qui est du premier degré par rapport à y donnera une valeur de y correspondant à chaque valeur de ar : le système proposé aura donc quatre solutions. On étend plus tard cefte conséquence à deux équations quelcoaques du secoadi degré à deux vaiûables, parce que l'on démontre qu'une équation quelconque du quatrième degré a toujours quatre racines réelles ou imaginaires.