SYSTÈMES D'ÉQUATIONS SIMULTANÉES

\. IxKtfPLB ï. *— Résoudre le système , (1) a? — i/ = a, (2) ^'y=b,

La question est un cas particulier du problème (84) , mais ou peut procéder avec plus d'élégance comme il suit.

Considérons a? et — y comme les deux inconnues, et écrivons les équations proposées sous la forme

œ et — y sont alors lies racines de l'équation

(3) X«-aX — ^ = 0,

d'où Ton tire

^l a±^ ci* + U

Mais chacune des racine? de réqaatioa (3) pouvaiU Uf^ considérée comme la valeur de oi; ou de -^j/» on a deux systèoies de valeurs

Exemple II. — Résoudre te système (1) â?« + 2/«=a, (2) a^y = ^

C'est un cas pardeulier de la question (85). En opérant^ coipme il a été dit, on sera ramené à résoudre une équation bicarrée. Les racines contiendront des radicaux superposés qu'on pourra remplacer par des sommes de radicaux, parce que la condition nécessaire pour qu'il en soit ainsi sera remplie; mais il est plus simple d*opérer autrement.

Après avoir multiplié les deux membres de l'équation (2) par 2, ajoutons et retranchons, membre à membre, les équa<tions données ; il viendra

(or -f y)« = a + 26, (a> ^ i/)« =s oî — 2^.

Extrayant les racines carrées des deux membres de chacune des deux dernières équations, oh a

d'où en ajoutant et retranchant, membre à membre, les équations (3) et (4),

11 est clair d'ailleurs que dans les valeurs de a? et y les signes

supérieurs doivent être pris ensemble ainsi que les signes infé*

rieurs ; car en tenant compte de la manière dont les formules

ont été déduites des équations (3) et (4), on voit que le premier

radkal dent avoir le même signe dans x eXy et, le second, des

signes contraires. Ainsi, si l'on représente respectivement par

« et j3 les deux quantités — s a-^-lh ^i — \l a — 2&, on aura

80;. QUESTIONS D'ALGÈâRE ÉLâHEMTAlRË.

ar = — a + S

Mais les deux premiers systèmes a*ea font réellement qu'un ^seul, car tous deux indiquent que l'un des nombres eherchés est a + |3 et, l'autre, « — j3. On fait la même remarque sur les deux derniers systèmes ; le système des éqtiations (1) et (2) n'admet donc que deux soluUons.

Il n'en serait plus de même si les inconnues a? et y au lieu d'être des nombres quelconques étaient des inconnues auxiliaires et avaient ainsi, chacune, une signification particulière. C'est ce qui arrive par exemple, en trigonométrie, lorsqu'on se

propose de calculer sin -^ et cos — en fonction de sin a ;

bien qu'on soit ramené à trouver deux nombres, connaissant la somme de leurs carrés et leur produit, le problème a quatre solutions. .

Exemple III. — Résoudre le système des équations

Ici on ne rentre plus dans l'un des systèmes généraux des n**' (84) et (85). Mais on peut encore opérer par substitution, car en tirant la valeur de y de l'équation (1) et la substituant dans la seconde, on tombe sur une équation du second degré. Il est plus élégant d'employer les méthodes qui suivent.

Première méthode. — Élevons au cube les deux membres de l'équation (1) puis retranchons, membre à membre, avec l'équation (:^), il vient

3x^y -(- Zy^x = a^--d; ou

Sxy {x -{-y) =a^ — d.

Remplaçant maintenant dans l'équation précédente rr + 2/ P*r a, on en lire

•{3) xy =-

Donc, en vertu des équations (i) et (3), x ety sont les racines de l'équation

(4) 3aX« — 3a«X + a» — d = 0,

et le problème n'a qu'une solution.