CHAPITRE XI

DJiCOMPOSITION DU TRINOME DU SECOND DEGRÉ EN FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ. - APPLICATIONS DIVERSES. - RÉSO- LUTION DES INÉGALITÉS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE. - MOYEN D'EXPRIMER QUE LES RACINES D'UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ SONT COMPRISES ENTRE DES LIMITES DÉTERMINÉES.

DÉCOMPOSITION DD TRINOME CLX^ -4- fcj? + C EN DEUX FACTEURS DU PREMIER DEGRÉ PAR RAPPORT A X.

99. On peut démontrer de plusieurs manières la règle k suivre pour opérer cette décomposition

Première méthode. — Soient x' et x'' les racines de Téqualion

ax^ -f- ^^ "h ^ = 0,

c*est-à*dire les nombj^es réels ou imaginaires qui substitués dans le trinôme le rendent égal â zéro, (pour abréger le langage nous appellerons dorénavant de pareils nombres les racines du trinôme) .

D'après les théorèmes II et III (17), le trinôme sera divisible par les binômes x — x' et x — x" et aussi par leur produit [x — x') {x — ar'Q. En appelant Q le quotient de cette dernière division on aura

ax'^ -{-bx -^ c = Q{x — x') (x — x^^).

Mais les deux membres de cette égalité devant être identiques, les premiers termes des deux membres, c'est-à-dire ax'^ et Qx^ doivent être les mêmes et, par suite, Q est égal à a. Il vient donc

(I) aa?* + to -|-c = a(x — a/) {x — x^)^

Si QUESTIONS D*ÂL6ËBR£ ÉliÉHENTAIRE.

De là cette règle : Pour opérer la décomposition d'un trinome du second degré, multipliez le coefficient de x* par le produit des facteurs obtenues en retranchant de la variable x les racines du trinôme.

Si les racines a/ et a/' sont réelles, la décomposition se fait en facteurs réels ; si les deux racines sont réelles et égales le trinôme est, au coefficient près de ar', le carré d'un binôme réel et du premier degré en x^ ; mais si les racines du trinôme sontimaginaires, la décomposition ne peut être faite qu'en facteurs imaginaires.

Deuxié&ie méthode. — On a identiquement (2) ax* + bx + c = a\x* + a? + |-),

mais on a aussi (78)

Alors en remplaçant dans la première identité — et — par

les valeurs que donnent les foimules précédentes, on obtient

Troisième méthode. — Dans le second membre de Tidentité (2) complétons le carré de a? -f-T" en ajoutant et retuan-

chant le terme . ^ : il vient alors

(4) aa^ + bx-^c = a^(x+^)+—^^—y

Mais on a

4ac — b

l b'^—iac l \/b* — iac \^ ~ 4a« ~ \ 2a /•

4a« donc

aoî* + fea? + c = a|( X + et en remplaçant dans le second membre la dififérence des