DÉCOMPOSITION DU TRINOME DU SECOND DEGRÉ

carrés par le produit de la somme et de la différence, on obtient

W a^+c^a (. + idd^ [. + Iz::^.

Mais si Ton remarque que les quantités ajoutées à x dans le second membre sont respectivement — x' et — a?'', on a enfin

ax* + to + c = a (x — rr') {x — x'^).

. APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION DU TRINOME. M. nelatlona entre les coefBclenta et les racine**

— L'identité (3), qu'on suppose démontrée seulement par la première ou la troisième méthode, donne

ax* -{- 6x + c = ax* — a{x' -{- x^')x + cl^ol"^

ou encore en faisant passer tous les termes dans le premier membre

(I) (6 + o(x' + x'f))x + c — ax'x' = 0.

L'égalité précédente devant être satisfaite, quel que soit x, le coefficient de x doit être nul, puisque, s'il en était autrement, en divisant par ce coefficient et isolant x dans un membre, on aurait une équation qui ne serait satisfaite que par une seule valeur de x. Le coefficient de x étant nul, l'identité ne pourra être satisfaite que si le terme indépendant de x est nul aussi : on a donc

6 + a(x' + a?'0 = 0, c — rr'ar'' = 0,

d'où

ar' + a?'' = , j? V = — .

Ce sont bien les relations du n? 78.

M. Toute équation du necond de^ré a d^sux racines

— IjG théorème a déjà été démontré, mais on peut en donner uue démonstration très-simple fondée sur la décomposition du trinôme. Remplaçons le premier membre de l'équation générale

ax* -{-bx '\-c = Oy lar la quantité quilui est identique en vertu de l'identité (5X87),

nous aurons dans le premier membre un produit de trois facteurs qui ne pourra être nul qu'autant qu'un des facteurs sera nul. Le premier facteur a n'étant pas nul, on égalera à zéro les deux autres et on obtiendra ainsi

—b — yJV^ — iac . —b + yjb^ — jac 2a ' 2a

Le théorème est démontré, et en même temps on trouve les expressions des racines, telles qu*elles ont été données (76).

•O. Variation du aiisne du trinôme. — On distingue

trois cas.

!• b* — 4ac est négatif. — L'identité (4) (87) montre que la quantité entre parenthèses étant la somme des quantités

œ + -r— j et — T— ^ — , dont la première est positive ou nulle

et la seconde nécessairement positive, est elle-même positive. Le second membre de l'identité et, par suite, le trinôme aura donc toujours le signe de a, c'est-à-dire le signe du premier terme ax^ du trinôme.

2« b* — 4ac est nul. — Le second membre de l'identité (4)

se réduit alors à hr + •;;; — I > ^^ ^^ arrive à la même conclusion

que dans le cas précédent, si ce n'est que le trinôme devient nul

pour une valeur de x égale à — .

30 i)« — 4ac est positif. — Dans ce cas on applique la décomposition du trinôme en facteurs du premier degré. Écrivons l'identité

" ax^ -{- bx -^c = a{x — a/) (a? — a/'),

dans laquelle a?' et a" sont les racines réelles et inégales du trinôme, et faisons d'abord croître x depuis — 00 jusqu'à a'. La variable x étant plus' petite que. x' et x', les deux facteurs j? — a?' et a? — a/' sont négatifs et donnent un produit positif : le trinôme a donc le signe de a ou de son premier terme aa^» Quand la variable x atteint a?', le trinôme s'annule ; puis, quand elle continue de croître entre x^ et a?'', le facteur œ — a/ est positif et le facteur x — a?''^est négatif: {x' — x) {x — a/') est donc négatif et le Irinome a un signe contraire à son premier terme.