APPLICATIONS DU THÉORÈME SUR LA VARIATION DE SIGNE DU TRINOME

9t. Résolution de IMné^alIté du second deg^ré ti une inconnue. — On a

ax* -|- to + c ^ 0.

Prenons d*abord l'inégalité

(1) aa;* + te + c>0.

On distingue trois cas, suivant que t* — Aac est positif nul ou négatif.

V On a b* — 4ac> 0. — Alors les racines du trinôme x^ et a?'' sont réelles et inégales et, d'après le théorème (90), on aura

x'> x' ou X <i x'\ si a est positif,

a? < a/ et a? > xf\ si a est négatif.

2« On a \? — 4ac = 0. — Si a est positif, Tinégalité (1) est toujours satisfaite, mais lorsque a est négatif, elle ne Test jamais par des valeurs réelles. Il faut observer cependant que, dans ce cas, Téqualion

aa?* -|- ftx -}- c =

e»t satisfaite par la racine double et réelle xf^ et cette remarque est importante parce que dans la discussion des problèmes les signes > et < des inégalités n'excluent pas le signe = .

3* On a i* — 4ac < 0. — L'inégalité (I) sera toujours satisfaite quand a sera positif, et elle sera impossible quand a sera négatif.

8S QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLËMENTÂIBB.

Si Ton avait à résoudre l'inégalité

aar* + 6a? + <^ < 0.

On procéderait de la même manière ; d'ailleurs en changeant le signe du premier membre de l'inégalité on retomberait sur l'inégalité (1).

On peut maintenant énoncer la règle générale suivante :

•9. Pour résoudre une inégalité du second degré à une inconnue^ formez d'abord la quantitéh^ — 'lac. Si cette quantité est négative ou nulle, Vinégalité sera toujours satisfaite ou impossible suivant que a et ax* -{-hx-^c devront être de même signe ou de signe contraire en vertu de Vinégatité proposée. Si b* — 4ac est positif, déterminez les racines x' et x" du trinome et, suivant que a et ax^ + bx -{- <• devront être de, même signe ou de signe contraire, on aura

a: < ar' ou iP > a/', ou bien

X > a?' et X < x^\

•8. Théorème I. — Quand deux nombres substitués dans Ip premier membre d'une équation du second degré donnent des résultats de signe contraire^ ils comprennent toujours une racine et une seule.

Soient a et/B les deux membres donnés, « étant le plas petit. Supposons aussi pour fixer les idées que a soit positif dan? l'équation

ax* -^ bx -{- c = 0.

Si OL substitué dans le premier membre de l'équation donne un résultat positif , p donne par hypothèse un résultat négatif et est par conséquent compris entre a?' et x^\ Le nombre a qui est plus petit que p et donne un résultat positif ne peut être que plus petit que a/ : a et /3 comprennent donc la racine x'. On prouverait de même que 4Bi « donnait un résultat négatif, « et jS comprendrait la racine a/'.

•4. Théorème II. — Si deux nombres a et p substitués dans le premier membre d'une équation du second degré donnent des résultats de même signe que le premier terme, ils camr prennent entre eux deux racines ou n'en comprennent pas.

Supposons pour fixer les idées que a soit positif ; alors a et p donneront des résultats positifs. Ces deux nombres pouiyont

DÉCOMPOSITION DU TRINOME DU SECOND DEGRÉ. 8d

par conséquent être plus petits que ic', plus grands que af^ ou l'un a plus petit que je/, et l'autre p plus grand que d'. Or il est évident que, dans les deux premiers cas, « et j3 ne comprennent aucune racine tandis qu'ils comprennent les deux racines dans le dernier Cas.

9h, Théorème III. — Si deux nombres aetp substitués dans le premier membre d'une équation donnent des résultats de signe contraire au pt^emier lerme^ ils ne com/prennent aucune racine.

En effet, le premier terme étant toujours supposé positif pour fixer les idées, les deux nombres a et p donneront des résultats négatifs, c'est-à-dire de signe contraire au premier terme, et seront par conséquent compris entre les racines.

9G. Exprimer que les racines d*ana ^^quatlon du •econd déféré aoDt toutes deux plus petites ou plus grandes qu'un nombre^ donné* ou que l'une est plus petite «'t l'autre plus faraude qu'un nombre donné*

— Soit toujours l'équation

aa?' -(- ftx -f- c = 0,

dans laquelle a est supposé positif.

l» Après avoir reconnu que les deux racines sont réelles et que l'une d'elles au moins est positive, on veut exprimer que z! est plus petit qu'un nombre positif l tandis que x" est plus grand que 1. — Le nombre l est alors compris entre les deux racines et la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est

2» L'une des racines est positive et l'autre négative et Von veut exprimer que la racine positive est plus petite ou plus grande qu'un nombre positif 1. — Si la racine positive doit être plus petite que l, comme la racine négative est nécessairement plus petite que l, les deux racines seront inférieures à /, et on devra avoir

aP + 6/-fc>0;

la condition est d'ailleurs suffisante.

On verrait de même qu'on exprimerait que la racine positive est plus grande que l par l'inégalité

90 QUESTIONS D* ALGÈBRE ÉLÉMENTAIBE,

$• Les deux racines sont toutes deux positives et l'on veut exprimer qu'elles sont plus petites ou plus grandes qu'un nombre positif \. — Supposons d'abord que les deux racines doivent être plus petites que /. Le nombre l étant supérieur aux deux racines doit donner un résultat positif quand on le substitue à x dans le trinôme, on a donc comme première condition

(1) al* + bl + c>0.

Mais cette condition n'est pas suffisante, car si elle était seule

remplie, les deux racines pourraient être aussi bien toutes

' deux plus grandes que /. Il n*en sera plus ainsi, si l'on

exprime que la somme des racines est plus petite que 21

' ou que leur produit — est plus petit que P. On arrive ainsi aux deux inégalités

et le système des inégalités (I) et (2) ou bien (l) et (3) exprimera les conditions nécessaires et suffisantes pour que les deux racines soient plus petites que /.

En adjoignant à l'inégalité (1) l'une ou l'autre des inégalités (2) et (3) prise en sens contraire, on exprimera les conditions pour que les deux racines soient toutes deux plus grandes que /.

Voici un exemple très^simple de rapplication des niéthodes précédentes.

97. Problème. — Un tube recourbé, à deux branches inégales et dont la section est partout la meniez a sa plus petite branche fermée et sa plus grande ouverte^ et contient du mercure au même niveau dans les deux branches parce que la ^pression de l'air dans la branche fermée est égale à la pression atmosphérique H. On met alors le tube en communication par sa branche ouverte avec un réservoir qui contient un gaz dont la pression P est supérieure à R, et quand l'équilibre est établi le mercure a monté dans la branche fermée d'une hauteur égale à celle doit il est descendu dans l'autre branche : on demande quelle est cette hauteur.

Désignons la hauteur cherchée par x^ et soit aussi t la hauteur du cylindre qui renfermait primitivement l'air intérieur.