QUESTIONS D'ÂIX>ÈBRE ÉLÉMENTAIRE
OU
An,Q — h^ •
; est donc un minimum de la fonction, et ce mini-
Aa
mum est évidemment atteint quand x est égal à
On peut facilement vérifier que le minimum trouvé satisfait à la définition du n° (105). En effet, si on donne à x une valeur
très-voisine de —r- — , comme le trinôme est une fonction
continue de x (107), il prendra une valeur très-voisine de , mais cette valeur sera toujours plus grande que
— puisque, pour des valeurs plus petites, x est ima-
ginaire. La condition du minimum est donc remplie. On voit aussi que, si l'on donne à m une valeur qiiel-
conque wr plus grande que r , cette valeur n est ni un
maximum ni un minimum, puisque pour des valeurs voisines de la valeur de ir à laquelle correspond la valeur m' de la fonction, on a des valeurs plus petites et plus grandes que m'. Enfin, on peut remarquer que, pour x égal à + oo , la fonction est toujours égaleà+oo . En effet, le trinôme peut s'écrire :
et si l'on donne à x des valeurs très-grandes indépendamment du signe, la quantité entre parenthèses tend vers a, et le trinome tend vers la valeur que prend ax* pour x égal à"f- oc. c'est-à-dire vers -|- oo puisque a est positif. En résumé, on peut dire que, si Ton fait croître x depuis
— 00 jusqu'à -T — , le trinôme décroîtra depuis -f x> jusqu'à
kac — b^ ^ . , , . — b 7 , et que, si x croit depuis — — jusqu à -}- oo, le
A, , . kac — b'^ . „ ,
trinôme croit depuis ; lusqu à -f- oo .
DÉTEHiMlNATlON DKS MAXIMA ET MINIMA. 12ft
2» a est néf^atir. — La condition de réalité de x est alors
^ Aac — 6*
et on obtient un maximum correspondant à x égal à
On voit ensuite comme dans le cas précédent que, si x croît
depuis — 00 jusqu'à — — , le trinôme croît depuis — oo jus-
,^ kac — 6* , . ., , — b . ,, , ,
qu à T et que, si x croit depuis — — jusqu a + oo, le
trmome décroît depuis jusqu à — oo.
On peut représenter aux yeux la variation d'un trinôme à laide d'une courbe, soit, par exemple,
On construira facilement la courbe représentée (flg. 12). Si Ton fait croître x '^depuis — oo jusqu a la valeur OA^' qui
représente la quantité -^3 — égale dans l'exemple à —, y
décroît depuis + «5 jusqu'à — j — , puis x croissant depuis —
jusqu'à + ^ ï y croît depuis — - jusqu'à + 00 . L'ordonnée
A'-'E représente la valeur minima de la fonction.
On a d'ailleurs trouvé les points B, A et A' où la courbe coupe les axes en faisant successivement x Q\,y égaux à zéro dans l'équation de la courbe. Les changements de signe de la fonction sont mis aussi en évidence sur la figure.
Probï:.éme II. — Trouver les valeurs maxima et minima^ ou plus généralement étudier la variation de la fraction
ax* -^bx-^o
aV + 6'x + c' '
lorsqu'on fait croître x depuis — 00 jusqu'à + 00 . On pose
n\ . gg^ + to -f ^
d'où
iâO QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Résolvant cette équation par rapport à x, et représentant par A, B, C certaines fonctions des coefficients a, 6, c, a\ b\ d que l'on calcule facilement, on obtient
mh' — b±,\J km'^ -f Bm + C ^^' ""- 2(a - ma')
On distingue trois cas dans la discussion .
Premier cas. — A e»t. positif. — Ce cas se subdivise
lui-même en deux suivant que B* — 4AC est supérieur, inférieur ou égal à zéro.
i« On a
A > et B* — 4AC > 0.
En égalant à zéro le trinôme sous le radical on trouve des racines réelles et inégales m' et ??/" {m' désigne toujours la plus petite des deux racines) : donc pour que l'inégalité >
(4) Am« + Bm + C > 0,
soit satisfaite, on doit avoir
m < m' ou m > m''.
tn' sera alors un minimum pour une première série de valeurs et m^' un maximum pour une autre, série. On démontre du reste comme dans le problème précédent que les valeurs tn' et m^' satisfont aux définitions du maximum et du minimum données au n° (105). On voit aussi qu'il n'y a pas d'autres maxima ou minima.
2° On a
A > et B* — 4AC < 0.
L'inégalité (4) est alors toujours satisfaite, et il n*y a nX maximum ni minimum.
«eoond cas. — A est nég»ti€. — On remarque d'abord que B* — 4AC ne peut être négatif, car, s'il en était ainsi, le trinôme A?n* -|- Bm -f- C serait négatif pour toute valeur réelle de m et, par suite, x serait toujours imaginaire. Or ce résultat est évidemment absurde puisqu'à une valeur réelle de X correspond toujours une valeur réelle de m. Maintenant deux hypothèses sont possibles.
i« On a
A < et B« — 4AC > 0.
Les racines du trinôme sous le radical m' et m" sont alors réelles et inégales, et pour que l'inégalité (4) soit satisfaite, on doit avoir *
m > m' et m > m".
La fonction prend donc une série de valeurs dont m' est la plus petite et m" la plus grande.
On vérifie toujours de la même manière que la définition générale des minima et maxima s'applique à m' et m".
?• On a
A<0 et B« — 4AG = 0.
Le trinôme sous le radical est toujours négatif, sauf pour la racine double m' qui Tannule : il en résulte que la fraction n*a qu'une seule valeur, c'est-à-dire qu elle est constante.
xroiAième cas. — A est é^^ai À zéro. — Ce cas se subdivise en ti'ois suivant que B est positif, négatif ou nul.
!• A = et B>0,
on trouve un minimum et un seul =7- .
2« A = et B<0, on trouve un maximum et un seul — ,
on voit d'abord que l'hypothèse C < est impossible puisqu'elle conduirait à admettre que x a toujours des valeurs imaginaires. Mais si C n'est pas négatif, il n'y a ni maximum ni minimum.
Avant d'étudier la variation de la fonction, on va encore traiter quelques questions préliminaires.
Valeur» limites de la fonction^ — La règle générale pour trouver les valeurs limites de la fonction, c'est-à-dire les valeurs correspondantes à x égal à ± 00 , est la suivante :
Prenez le quotient des premiers termes du numérateur et du dénominateur^ et après avoir supprimé le facteur commun X ou X*, faites tendre dans ce quotient x vers ±00 : les limites obtenues seront celles qui sont demandées.
Démonstration. — Supposons d'abord que rA a ni a' ne
m QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
soi&nt nuls. En divisant les deux termes de la fraction par ar*,
et eu faisant tendre x vers ± oo on trouve — p . Ainsi, lorsque
a et a' sont différents de zéro, les valeurs initiale et anale sont égales.
Soit maintenant a égal à zéro. Mettons en facteur, x au numérateur, et x^ au dénominateur, nous aurons après avoir supprimé le facteur commun x
c ly d X tendant vers + oo les termes — , — et — r- tendront
vers zéro, et, par suite, la fraction pour x égal à it oo tend
vers la valeur limite que prend —7— pour Tune ou l'autre
des valeurs limites de x. Donc —7— tend vers zéro, mais
avec des signes différents suivant que x est égal à + 00 ou
Dans les deux cas que nous venons d'examiner on voit que
—7- est le quotient de ax^ par a'x*, et que —7— est le quotient
de bx par a'a;* : la règle générale est donc vérifiée. Les autres cas se traiteraient de la même manière.
Valeur» de la variable qui clétermlnent pour la flrac* tlon le» passasse» brusque» de -}- X) & — 00 ou de — 00
iÉ -|- 00 . — Ces valeurs n'existent qu'autant que Téquation
a des racines réelles et inégales x' et x^\ et ces racines sont les
valeurs demandées. On supposera dans Texplication qui va suivre que Téquation (5) et l'équation
(6) aar* + te + c = 0,
n'ont aucune racine commune. C'est ce que l'on peut toujours admettre, car si une racine commune a existait, les deux termes de la fraction seraient divisibles par x — a et l'on aurait supprimé tout d'abord le facteur commun.
Donnons maintenant à œ les valeurs œ' ~ /?, ar', ar+ A, Taccroissement h étant aussi petit que l'on veut. Comme x' n'est pas racine de l'équation (6), h pourra être pris assez petit pour qu'il n'y ait aucune racine de cette .équation comprise entre a/ — /i et a/ -(- A ; le polynôme aa;* -^bx-^-c aura donc pour a;' — A et x' -|- A le même signe que pour x\ et ce signe sera toujours facile à déterminer.
Cela posé, quand x croîtra de ar' — hk x'-^- h ^Iq ivinomQ a'x'^-{-Vx-{'C^ passera, en s'annulant, du positif au négatif ou du négatif au positif suivant que a' sera positif ou négatif. Il en sera encore de même, d'après ce qui a été dit précédemment, si la quantité ax^ -{-bx^ -{-c est positive, et si elle était négative Tordre serait interverti. Dans^tous les cas, il y a passage brusque de -f- oo à — œ ou de — oo à + ». On démontrerait qu'il en est de même quand x atteint et dépasse la racine x".
tt4. Je vais maintenant faire voir, sur des exemples numériques, comment on peut suivre la variation de la fonction et construire sa courbe.
Exemple I. — Étudier la variation de la fonction
/n a?* — Bx + l
L'équation qu'on obtient en égalant le dénominateur à zéro ayant ses racines imaginaires, on voit qu'il n'y a pas discontinuité, et, quant aux valeurs limites, elles sont égales à 1 d'après la règle.
Cherchons maintenant s'il y a des maxima et des minima. D'après la méthode, on regarde y comme ayant une valeur déterminée dans l'équation (1) que Ton résout par rapporta x : on a ainsi
Les racines de Véquation
étant
et les valeurs correspondantes de x
ic'=l, a/' = — 1,
on voit que, pour œ' égal à 1 , on a un minimum —3, et pourx^
égal à — 1 , un maximum — .
On peut mainten'ant former un tableau qui montre bien la marche de la fonction lorsque x croît depuis — oo jusqu'à + ^ •
— 1 -5- maximum
1 — 3 minimum
Pour former ce tableau, on a écrit, au-dessous de x et dans
Tordre de grandeur croissante, les valeurs de cette variable
auxquelles correspondent les valeurs limites et les valeurs
maxima et minima de la fonction y. Ces dernières valeurs ont
été écrites au-dessous de y sur la même ligne horizontale que
les valeurs de x correspondantes. On suit bien sur le tableau
la marche de la fonction : on voit que, lorsque x croît de — 00
à — I, la fonction croît depuis 1 jusqu'à un maximum — ; que,
X croissant de — 1 à 1 , la fonction décroît depuis —jusqu'à un
minimum — 3 ; enfin que, x croissant de I à -f-^i y ^^oît depuis — 3 jusqu'à 1 .
Il est facile maintenant de construire la coiu:be de la fonction, mais auparavant je donne la définition suivante qui va être utile : On appelle asymptote d'une courbe^ urve droitCy telle que la distance à cette droite d'un point de la courbe suffisamment éloigné peut devenir plus petite que toute quantité donnée.
Confktructioffi de ta coui^be de In foiicllon* — Ayant
tracé deux axes rectangulaires a?a/, yy' qui se coupent en O
(fig. 13), on fait d'abord croître x depuis — oo jusqu'à — 1.
Alors, d'après le tableau, y croît depuis 1 jusqu'à un maxi-
mum — . La valeur de y étant égale à 1 pour x égal à — oo , et
supérieure à 1 , d'une quantité aussi petite que Ton veut, pour une valeur de x différant suffisamment peu de — oo , on voit qu'on a une branche de courbe DF qui s'étend indéfiniment vers la gauche et a pour asymptote une droite EE' menée â une distance OB égale à 1 de l'axe œx'. La branche de courbe monte
jusqu'à un point F dont les coordonnées x Q\.y sont — 1 et— .
En suivant le tableau on voit que la courbe descend depuis le point F jusqu'à un point G, dont les coordonnées xQiy sont 1 et— 3. Enfin la courbe monte, depuis le point G jusqu'à ce qu elle devienne asymptote à la droite EE', en restant au-dessous de cette droite.
On trouve, d'ailleurs, facilement les points B, I, K où la courbe coupe les axes yy\ xx*^ en faisant successivement y et X nuls dans l'équation de la courbe.
Exemple IL — Étudier la variation de la fonction
On trouve d'abord 1 pour les valeurs limites de y, et on obtient les valeurs, auxquelles correspondent les passages brusques de la fonction, en résolvant l'équation
a?' = i et x" = 4.
Les résultats de la substitution de 1 et 4 à la place de x dans le numérateur de y étant positifs, on voit que lorsque x croît en passant par 1 et 4, il y a passage brusque pour t/ de +oo à —00 dans le premier cas, et de — oo à -|- oo dans le second.
Enfin, on trouve les maxima et minima en résolvant l'éiiuation (1) par rapport à œ et écrivant que la quantité sous le radical est positive : on est alors conduit à résoudre l'inégalité
On trouTe ainsi qu'aux valeurs de or, — 2 et 2 correspondent res-
pectivement un minimum -^ et un maximum — 1 .
On peut maintenant dresser un tableau d*après les dispositions déjà adoptées : seulement, pour indiquer les passages brusques, on a désigné par h une quantité très-petite.
