APPLICATION DB LA VARIATION DES FONCTIONS A LA GÉOMÉTRIE

i3«. Quand on veut suivre la marche d'une quantité géométrique exprimée en fonction d'une seule variable, si la fonction est une de celles qu'on a étudiées dans ce chapitre, les résultats obtenus seront applicables, mais à la condition de tenir compte des limites que la géométrie assigne à la variable. Il suffira, en général, d'examiner si les limites de la variable x comprennent ou non les valeurs pour lesquelles les maxima et minima sont atteints. Ainsi, par exemple, si la fonction, considérée comme purement algébrique, n'a point de minimum et a un seul maximum pour une valeur de x égale à d?', et que dans la question de géométrie la variable œ ne puisse dépasser une valeur a inférieure à iK, il est clair qu'à la valeur a de a? correspondra un maximum pour la fonction géométrique.

iSS. Je vais donner des exemples.

Problème Ï. - Étudiet^ la variation de la surface totale du cylindre inscrit dans un cône donné.

Soient r et h le rayon de base et la hauteur du cône, XQiy Ifi rayon de base et la hauteur du cylindre, S la surface totale de ce volume : on aura

8 = 27r (a?« + (mj), ou, en tenant compte de la relation connue

S (r — A) a?' + rhx

On est ainsi ramené à étudier la variation d'un trinôme du second degré dont le dernier terme est nul. Il est d'abord évident que si r est égal à A ou plus grand que A, S. croît en même temps que x. Il n'y a donc de discussion à faire que dans le cas où r est plus petit que h.

Il résulte de la discussion générale du trinôme que, si Ton

vh fait croître x depuis zéro jusqu'à la valeur positive -^yr — r-,

la fonction S croîtra depuis jusqu'à un certain maximum;

vit puis, que x croissant depuis jusqu'à -f-'^i S décroîtra depuis son maximum jusqu'à — oo. Mais, dans la question de Géométrie, x ne prend que les valeurs comprises entre o et r, et il s'agit de savoir laquelle des deux quantités r et

'-',' r- est la plus grande. Pour cela, posons

rh ^ ^

on trouve alors comme conséquence

h r < ou > -^

de là deux cas principaux.

l*» -H" < ^ < '*• — Alors comme x, en croissant jusqu'à r,

vh n'atteint pas la valeur -^tj—^-v à laquelle le maximum de

la fonction algébrique correspond, S ira constamment en augmentant.

2** r < -rr- . — Dans ce cas, -rrr-, r est plus petit que r, et

la surface passera par un maximum correspondant à la valeur

tH de x qui est égale à -^rr — r- . Lorsque x croîtra de à r, la

surface totale croîtra depuis jusqu'à un certain maximum, puis décroîtra jusqu'à la valeur 27rr* qui correspond à x égal à r.

Problème II. — Étudier la variation de la somme de Vliypo ténuse et de la hauteur d'un triangle rectangle dont le péri- , mètre 2p est donné.

Adoptant les notations ordinaires et égalant entre elles deux expressions de la surface du triangle, on a

hz = 2p(p — z)y d'où l'on tire

et, par suite, il vient

On. est ainsi ramené à Tétude de la variation de la fonction

2p s+ - (Problème IV, 130) ; mais il faut tenir compte de ce

que la variable z prend seulement des valeurs comprises entre p et un certain minimum p{^ '2 — l), (P. 1, (160)).

On sait que, lorsque z croît depuis jusqu'à pyjiy la fonc-

2i)' lion algébrique 2-| — '— décroît depuis +«> jusquà umni-

niraum 2pV 2 -, puis, que x croissant depuis p\/ 2 jusqu'à

4-00, la fonction croît depuis 2pyJ 2 jusqu'à -|-o©. Mais la valeur la plus grande que z puisse atteindre dans la question de

Géométrie, c'est-à-dire la valeur p, étant plus petite que pV 2 ,

on voit que, 2 croissant depuis p(V 2 — l) jusqu'à p, la somme de la base et de la hauteur ira constamment éiT' décroissant. En particulier, on remarque que la quantité z-\-h est maxima quand z atteint son minimum. Mais comme on sait f probl 1, 1 00) que ce minimum a lieu lorsque le triangle rectangle est isocèle, on arrive au théorème suivant déjà démontré (Pro. Il, 122).

Parmi tous les triangles rectangles de même périmètre ^ceiui qui est tel, que la somme de l'hypoténuse et de la hauteur à la plus grande valeur^ esfle triangle isocèle.

Problème III. — Étant données deux sphères extérieures, hne à Vautre, on prend, sur la ligne des centres et entre les deux sphères, un point comme sommet commun de deux cônes de révolution tangents aux deux sphères : on demande d'étudier la variation de la somme des zones comprises entre les deux corieSy lorsque le point se déplace.

Soient et 0' les deux sphères (fig 17), A le sommet com-

mua des deux cônes, CD et CD' les hauteurs des deux zones.

' Représentons par r, r' et d les rayons des deux sphères et la

distance de leurs centres et par x et oc' les distances AO, A'O':

on aura pour expression de la zone BCD, '•Inr (r — OC). Mais,

comme dans le triangle rectangle OBA, OC est égale à — ,

l'expression de la zone devient 2^ r- — . On trouve de

même l'expression delà seconde zone et Ton voit que la somme des deux zones est égale à

En remplaçant a?' par d — x, il vient

\x x' ] ir' — dx '

et si l'on pose

on aura

^ r'» \ (^ — r^) {a — x) X x' \ a?* — dx

(on appelle r le plus grand des deux rayons). Soit maintenant

tout revient à étudier la variation de y, car la somme des zoues varie dans le même sens, Posons, suivant la méthode,

remplaçons dans l'équation (2) x par sa valeur a — z, puis divisons les deux termes de la fraction par z : il viendra

La quantité a{a^d) étant évidemment positive, on voit qu'on

A/ est ramené à la variation de s H lorsque k est positif. Mais

il faut tenir compte des limites entre lesquelles z peut varier dans la question.

Les limites de x, dans l'ordre de grandeur croissante, étant r et d — r', celles de z prises dans le même ordre seront, à cause de l'équation (3), a — rf -f- r' et a — r. 11 faut d'abord

voir si ces dernières sont plus grandes ou plus petites que la

a(a — d) valeur de z à laquelle correspond le minimum de z-| ^ ^,

c'est-à-dire V a{a — d) .

Prenons d'abord la seconde limite a — r : je dis qu'elle est

toujours plus grande que V a{a — d) . Il s'agit de prouver que l'on a

(a — r)« — a(a — d) > ou

r» — 2ar + ad > 0.

Mais si l'on remplace a par la valeur que donne l'équation (1)

et qu'on multiplie les deux membres de l'inégalité par — -,

il vient

r{d — ry — r'^ > 0,

et cette dernière inégalité est évidente, car les deux quantités r et d — r sont toutes deux plus grandes que r'.

Considérons maintenant l'autre limite a — d -\- 1^, Il faut trouver le signe de la différence

OU de

(rf — 1^)2 — a(d — 20,

ou encore en mettant^ dans l'expression précédente, pour a sa

valeur et multipliant par la quantité positive y^ , on

doit déterminer le signe de la quantité

On voit alors que, suivant que d sera plus grand ou plus petit

que / -(- r \/ —f , li limite a — d rf- r' sera plus petite ou plus grande que \l a{(x — d) .

Premier cas. — d>r'-f-r \/ — - . Alors la valeur de 2,

pour laquelle le miDimum de la fonction z A ^^ ^ a lieu,

est comprise entre a — d'\-r' ei a — r. Cette fonction va donc

en décroissant quand z croît de a — rf + ^ ^ ^a{a — d), et puis

elle augmente lorsque z croît de ^a{a — d) à a — r. Mais comme, d'une part, lorsque z croît de a — d-^r* k a--r^ x décroît de d — r'^àr, et que, d'autre part, la somme des zones varie en

sens inverse de la fonction z -^ ^ , il en résulte que,

lorsque le point A se déplace en marchant de D^ en D, la somme des zones augmente jusqu'à un certain maximum, puis dinnnue jusqu'à ce que le point A soit arrivé en D.

On trouve d'ailleurs le point auquel correspond le maximum en posant

• z = V «(^ — d) ou x=za — V û (û^ — d) .

En remplaçant dans la dernière équation a par la valeur que donne la formule (1), on a

ou encore

et enfin si l'on supprime le facteur commun aux deux termes ^ r* — V ^'^1 11 vient

C'est la formule qu'on voulait trouver.

Ùeuxlème cas. — rf < 7^ -|~ '^1/ 'Zj~ ' -^l^^^'S les deux

valeurs limites de zsont toutes deux supérieures à ^ a{a — d).

La fonction z 4- -^ — ^ ira donc en croissant lorsque z

croîtra de a — d-\'r' ii a - r, et on eu conclut que, lorsque le

sommet des deux cônes va de D' en D, la somme des deux zones diminue constamment.

USAGE QUE l'on FAIT DE L'ÉTUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS DANS

134. La discussion d'un problème se réduit le plus souvent à trouver le nombre de solutions d'une équation

dans laquelle f{x) ne dépend que de l'inconnue x et des constantes, et où m est une quantité d'abord constante, mais qu'on fait ensuite varier pour trouver le nombre des solutions qui correspondent à ses différentes valeurs. Mais, si l'on a étudié la variation de fx et, en particulier, si on a déterminé ses maxima et minima, on sait combien de fois la fonction a passé par une valeur déterminée m et, par suite, on connaît le nombre de solutions de l'équation (1 ) pour cette valeur. Si la courbe de la fonction était tracée (fig. 8), pour trouver le nombre de solutions qui correspondrait à une valeur de m, on porterait cette valeur sur l'axe des t/ de O en B, et par le point B on mènerait une parallèle à Taxe des abscisses ; le nombre des points d'intersection de la parallèle et de la courbe donnerait le nombre de solutions. Je vais appliquer ce qui précèd^ à deux exemples.

Exemple I. — Trouver à priori le nombre des solutions de ce problème : inscrire dans un cône donné un cylindre dont h surface totale soit connue.

On sait, d'après la discussion du problème 1 (13 3), que, si le rayon de la base du cône est égal ou supérieur à la nioitié de sa hauteur, la surface totale croît constamment lorsque la base du cylindre croît de à 2r. 11 est clair alors que le problème proposé ne peut avoir qu'une solution, et qu'elle n'existe qu'à la condition que la surface totale du cylindre donné soit inférieure à la valeur maxima, c'est à-dire au dquble de la base du cône.

Supposons maintenant que le rayon de la base [du cône soit plus petit que la moitié de sa hauteur. On a vu (133) que, dans te cas, lorsque la base supérieure du cylindre qui passe d*abord parle sommet se rapproche jusqu'à coïncidence de la base du cône, la surface totale du cylindre croît jusqu'à un certain

maximum, puis décroît constamment jusqu'à ce qu'elle devienne égale au double de la base du cône. Il est évident d'ailleurs que cette dernière surface étant plus petite que le maximum, la surface totale du cylindre, avant d'atteindre son maximum, a dû prendre une première fois une valeur égale au double de la base du cône. La surface totale prend donc une seule fois les valeurs plus petites que le double de la base du cône et deux fois les valeurs comprises entre cette surface et le maximum.

On peut affirmer maintenant que la discussion directe du problème conduirait aux conséquences suivantes, dans le cas où le rayon de la base du cône est plus petit que la moitié de sa hauteur.

Lorsque la surface totale du cylindre donné est inférieure au double de la base du cône, le problème a toujours une solution et une seule ; lorsque la surface donnée est comprise entre le double de la.base du cône et le maximum, le problème a deux solutions ; lorsque la surface donnée est égale au maximum, il y a une solution double ; et lorsqu'elle est supérieure au maximum, le problème est impossible.

Exemple IL — Trouver à priori le nombre des solutions de ce problème : déterminer sur la ligne des centres de deux sphères et entre ces sphères uti point, tel que, si l'on prend ce point comme sommet commun de deux cônes droits circonscrits ^ chacun y à l'une des sphères, la somme des zones interceptées par les deux cônes ait une surface donnée.

Le problème ne peut alors avoir qu'une solution, et pour que cette solution existe, il faut que la surface donnée soit comprise entre les deux zones qui correspondent aux positions du point mobile en D et D'. C'est la conséquence de ce qui a été vu (problème III, 133).

on sait (problème III, 133) que, lorsque le sommet des cônes marche de D' vers D jusqu'à un certain point A, la somme des zones augmente, puis, que le sommet avançant de A en D la

somme des zones diminue constamment. D'ailleurs, si on appelle s' et s les sommes initiales et finales, on trouve que s' est toujours plus grand que s.

On voit alors que, dans le cas actuel, si la surface donnée est comprise entre le maximum et s\ le problème aura toujours deux solutions, qu'il n'en aura plus qu'une lorsque la surface donnée sera compri se en s et s\ et qu'il sera impossible, lorsque la surface sera plus petite que s ou plus grande que le maximum.