CHAPITRE XVI
MAXIMA ET MINIMA DES PONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES OU LIÉES ENTRE ELLES PAR DES ÉQUA- TIONS. - VARIATION DE QUELQUES UNES DE CES FONCTIONS.
Dans tout ce qui va suivre on désignera par x, y, z, ^ ... les variables et par u la fonction.
185. Problème I. — Étudier la variation du produit de deux quantités dont la somme est constante.
On a, en désignant par a la somme constante,
(l) u = xy, (2) a?-t-y = a.
Écrivons l'identité
(3) ixy = {x-\- y)^ - (x - yf;
en y remplaçant œy par u, œ-^y par a, elle devient
a Faisons d*abord croître y depuis jusqu'à — : à cause de
a l'équation (2), œ décroîtra depuis x jusqu'à— , et (x — y)* décroîtra depuis a^ jusqu'à zéro. La fonction u, par suite, croîtra
depuis jusqu'à — - . Si Ton fait ensuite croître y depuis —
jusqu'à a, x décroîtra depuis — jusqu'à zéro. Mais la quantité (x — y)* ou (y — x)^ augmente en même temps que y, et
a* a diminue depuis -— ■ jusqu'à zéro.
Il résulte de la discussion que la fonction u passe par un
MAXIMâ et MINIMA des fonctions. 159
maximum lorsque x et y sont égaux : on peut donc énoncer le théorème suivant :
t se. Théorème. — Pour partager un nombre en deux parties dont le produit soit maximum, il faut le partager en deux parties égales.
t89. Problème II. — Étudier la variation de la somme de deux quantités dont le produit est constant, a désignant le produit constant, on a
(1) u = x-\'yy (2) xy = a.
L'identité (3) du problème précédent donne
(3) u^ = ia^{x^ y)\
et cette dernière égalité conduit aux conséquences suivantes : Si l'on fait croître y depuis zéro jusqu'à ^ a ^ x décroissant,
en vertu de l'équation (2), depuis l'infini jusqu'à yfô^ , (a? — j/)* décroît depuis l'infini jusqu'à zéro, et u depuis l'infini jusqu'à 2 ^] a .y croissant ensuite, depuis y/ a jusqu'à l'infini, et X diminuant, par suite, depuis \J a jusqu'à zéro, [x — j/)*
ou (y — xY croît, depuis zéro jusqu'à l'infini, et u depuis 2 V a jusqu'à l'infini.
La fonction a passé par un minimum pour x égal à y ; on peut donc énoncer le théorème suivant :
138. Théorème. — Le produit de deux nombres dont la somme est constante a une valeur maxima lorsque les deux nombres sont égaux.
tao. Problême III. — Étudier la variation de la somme des carrés de deux nombres lorsque la somme de ces nombres est constante.
a désignant la somme constante, on a
On part de l'identité
En y remplaçant a?* + i/* et a? + y, respectivement, par w et a, on a
En se servant de l'équation précédente et raisonnant comme dans les problèmes I et II, on voit que, y croissant de à — ,
la fonction u diminue d'abord, depuis a^ jusqu'à la valeur -^-i
qu'elle prend pour les valeurs de x et y égales en même temps
à — . Elle augmente ensuite jusqu'à a^, lorsque y croît de -^
La fonction a passé par un minimum lorsque xei y ont eu des valeurs égales, on peut donc énoncer le théorème suivant :
t40. Théorème. — Pour partager un nombre en deux parties, telles que la somme de leurs carrés soit minima, partagezle en deux parties égales.
t4i. Problème IV. — Étudier la variation de la somme de deux nombres^ lorsque la somme de leurs carrés est constante:
On désigne la somme constante par a*, et 1 on a
En partant de l'identité (3) du problème précédent, on a (3) w* = 2a« — (a? — j/)«.
La discussion s*appuie sur Téquation (3) et elle est encore la même que dans les cas précédents. On voit que, lorsque y croît depuis jusqu'à a, la fonction va en croissant jusqu'à ce que y et X deviennent égaux à a, puis elle va constamment en décroissant.
On peut énoncer le théorème suivant :
149. Théorème. — Lorsque la somme des carrés de deux nombres est constante, la somme des deux nombres est maxima lorsque ces nombres sont égaux.
143. Remarque. — Les quatre théorèmes de maximum et de minimum qui ont été démontrés dans ce chapitre supposent que les variables xei y peuvent prendre la même valeur : c'est ce qui a toujours lieu dans une question d'algèbre proprement dite, mais il n'en est pas toujours de même quand on applique l'Algèbre à la Géométrie. Il peut arriver que, dans la question, les variables x et y aient chacune une signification particulière,
