MAXIMA ET MINIMA DES PONCTIONS
et que ï\ine d'elles soit toujours plus grande que l'autre. Mais les discussions, qui ont été faites dans les quatre problèmes précédents, montrent que les maxima et minima des fonctions correspondent à la plus petite valeur que puisse prendre celle des deux variables qui reste toujours la plus grande. Si, par exemple, on veut partager une quantité en deux parties dont le produit ait une valeur maxima, l'équation (4) (Pr. I, 135) montre que, x désignant la plus grande des deux quantités œ et 2/, la fonction u sera maxima, lorsque x aura sa plus petite valeur puisque en même temps y aura sa plus grande.
144. Problème V. — Étudier la variation de la fonction u définie par les équations suivantes^ où m, n, a* sont des constantes positives :
(1) u = mx + ny, (2) a?' -|- y* =: a*.
J'écris l'identité
(3) {mx + ny)* + (^^ï" — ^V)* = (''^* + ^*) (^* + J/*)» d'où l'on déduit immédiatement
(4) u* = (m* -f" ^*) û* — (nx — tnj/)^.
On remarque d'abord qu'on peut déterminer des valeurs de X et de y qui rendent nulle la quantité nx — my. En effet, les équations
nx — my = 0, x' -f- y* = o^*
ont les solutions toujours admissibles
ma na
Cela posé, faisons croître y, depuis la valeur jusqu'à , X décroîtra, depuis a jusqu à . Alors
la quantité (na? — myj' décroîtra, depuis n^a* jusqu'à zéro, et,
par suite, w décroîtra, depuis Tna jusqu'à a V ^* + ^*» y crois-
sant ensuite, depuis jusqu'à a, (my — na?)* croît,
depuis zéro jusqu'à m'a*, et u, depuis a vTm^^-pn* jusqu'à na. On voit que la fonction u passe par un maximum quand les variables a* et y sont proportionnelles aux nombres m et n.
it
162 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLKMENTAIRE.
On remarque que œ et y sont les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est constante. Nous avons donc étudié la variation de la somme qu'on obtient en multipliant par des nombres positifs donnés les deux côtés de Tangle droit des triangles rectangles dont l'hypoténuse est constante, et, en particulier, le maximum de cette somme a été obtenu. Le problème a été résolu sous cette forme et par une autre méthode dans les Questions de Géométrie, page 273.
fl4&. Problème VI. — Étudier la variation de la somme des carrés de deux nombres, quand la somme des produits de ces nombres par des nombres constants est donnée.
Cette étude prend son point de départ dans Tidentité (3) du problème précédent et se fait comme dans ce problème.
En particulier, on trouve que la somme des carrés de deux nombres, tels que la somme des produits de ces nonibres par des nombres donnés est constante, a une valeur minima lorsque les deux nombres sont proportionnels à leurs multiplicateurs.
fâe. Problème VII. — Étudim^ la variation de la fonction u définie par les équations
(1) w = mar ~ ny, (2) x^ — i/^=a*y
m, n, a étant toujours des constantes positives.
On remarque d'abord que, si x et y prennent deux accroissements correspondants, le premier sera toujours plus petit que le second. En effet, soient a/ et t/' deux valeurs simultanées de X et y et x^^, y" deux autres valeurs plus grandes que les premières : à cause de Téquation (2) à laquelle satisfont ces valeurs, on aura
d'où Ton tire
yff — yf x" -\- x'
Mais y'^ et y' étant respectivement plus petites que x^' et x' d'après l'équation (2), le 'second membre de l'équation précédente est plus petit que l'unité et, par suite, il en est de même du premier.
Cela posé, on est conduit à distinguer deux cas.' 1° m < n. — L'accroissement de u étant égal à la différence
MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS. 16.i
des accroissements de a? et de y multipliés respectivement par m et ?î, et l'accroissement de œ étant plus petit que celui de j/, on voit que l'accroissement de u est négatif, c'est-à-dire que la fonction u est constamment décroissante.
2® tn > n. — On part alors de l'identité
(3) {mœ — ny)* — {nx — ?nî/)* = (m* — n^) (j?* — j/^), et à cause des équations (1) et (2) on a
On voit d'ailleurs, comme dans le problème précédent, que la quantité nx — my peut devenir nulle pour des valeurs convenables de X et de y.
Gela posé, si on fait croître y depuis zéro jusqu'à la valeur
qui annule nx — my^ cette dernière quantité ira
^ Wi* -f~ ^*
en décroissant puisque n et Taccroissement de x sont respectivement plus petits que m et l'accroissement de y^ et elle
décroîtra jusqu'à zéro, y croissant ensuite depuis — -
V^ m' -f- ^* jusqu'à Tinfini, my devient plus grand que nx et alors la
quantité {my — nxy va en augmentant constamment depuis 0.
Il est clair que la fonction u varie toujours dans le même sens que {nx — mi/)*, elle a donc d'abord décru jusqu'à un minimum qui a lieu lorsque les variables xety sont proportionnelles à m et n et elle a ensuite constamment décru.
D'après l'équation (1) on voit bien que la valeur initiale de u^ c'est-à-dire celle qui correspond à y égal à zéro, est égale à ma, mais on ne sait pas immédiatement quelle est la jvaleur qui correspond k x et y infinis. Pour la trouver, on remarque que, l'équation (2) donnant
la limite du rapport — quand x eiy tendent vers l'infini est l'unité. Alors si on écrit l'équation (1) sous la forme
u = xim — n-^|, on voit que u est infini pour x et y infinis.
t49. Problême VIII. — Étudier la variation de la différence des carrés de deux nombres, lorsque la différence des produits de ces nombres par des nombres positifs donnés est connue.
On fait Fétude de la variation à l'aide de la même identité que dans le problème précédent, et ou trouve un maximum qui a lieu dans les mém,es circonstances que le minimum de ce problème.
149. Application des problèmes précédents èk. I^étnde des fonctions d*une seule variable. — Si dans les fonctions u des huit problèmes précédents, on remplaçai/ [larsa valeur en fonction de x que donne l'équation adjointe, on obtient
(3) u« = ar« + (a -Jr)^ ' (4) M = ar+ Va* — x%
(t)) u =wa: + n v<^ — ^ ) (6) ^ = ^-^-5 ^)
(7) u z^mx — n \x* — a^, (8) u = ^-r -.
ti*
Les équations (1), (6) et (8) conduisent à des trinômes du second degré en a?, Téquation (2) donne un cas particulier de la fraction dont les termes sont des trinômes du second degré en œ ; mais les équations (5) et (7) donnent des fonctions dont nous n'avions jusqu'ici étudié la variation que d'une manière indirecte (problème III, 123).
GÉNÉRALISATION DE QtJELQUES-UNS DES THÉORÈMES PRÉCÉDENTS.
Je vais maintenant démontrer quelques théorèmes qui s'appliquent à des fonctions d'un nombre quelconque de variables liées entre elles par une seule équation de condition. Ces théorèmes sont la généralisation de quelques-uns des théorèmes précédents.
t40. Théorème I. — Un produit d*un nombre déterminé de facteurs, dont la som,me est constante, a sa valeur maar'ma lorsque tous ses facteurs sont égaux.
a étant la somme donnée, on a
(1) u = œyz. . . .
(2) ar + î/ + ^ +••••= ^*
On voit d'abord que la fonction m a un maximum,* car si n est le nombre des facteurs, le produit de ces facteurs, tous plus
petits que a, est inférieur à a".
Je dis maintenant que, si, dans Tune des valeurs de w, deux facteurs, x ety par exemple, sont inégaux, on pourra toujours trouver une valeur de u plus grande; En effet, si dans la va-
leur de u considérée, on remplace a? et y, chacun, par
ûj I 1/ sr I '1/ sans changer les autres facteurs, le produit — ——^ x — -~^
sera plus grand que ary (136) et la seconde valeur de w sera plus grande que la première. Les variables ont d'ailleurs toujours satisfait à la relation (2) puisque les seules variables qu'on a changées ont conservé la même somme.
Il résulte évidemment de là que le seul produit qui puisse avoir une valeur maxima est celui dont tous les facteurs sont égaux, et comme on a vu qu'il y a un maximum, ce produit est effectivement le plus grand de tous.
Il est à peine besoin de faire observer que Tapplication du théorème ne peut se faire immédiatement que si les variables ue Font assujéties qu'à la relation (2). Le théorème serait en effet inapplicable, si les variables satisfaisaient à des relations d'égalité ou d'inégalité qui ne permettraient pas qu'elles devinssent égales.
t60. Théorème II. — Une somme d'un nombre déterminé denombres^dont le produit est constant, a une valeu/r minima lorsque tous les nombres sont égaux,
a étant le produit constant, on a
u =:œ-^y + z + • • • xyz . . . = a.
Il est évident que la somme a un minimum puisqu'elle est supérieure à zéro. Si maintenant on suppose que, dans une valeur de w, deux variables x et y soient inégales, on pourra toujours trouver une valeur de u plus grande. En effet, si dans
la valeur de u dont il s'agit, on remplace x et y par y/ xy
en laissant aux autres variables la même valeur, le produit restera toujours égal à a, mais la seconde valeur de u sera plus petite que la première (138). On conclut de là, comme dans le problème précédent, que le minimum a lieu lorsque tous les facteurs du produit donné sont égaux.
15 1. Théorème III. — La somme des carrés d*un nombre déterminé de nombres, dont la somme est constnnle^ a une valeur minima lorsque tous les nombres sont égaUfX.
a étant la constante^ on a
w = ir* + y*+^+- • • ^ + 2/+^ + ---=^-
La démonstration est analogue aux précédentes, ar et t/ étant supposés inégaux, on remplace, dans w, or* et y*, par
