CD ' I

— -H~^l ®t on applique le théorème (140).

fft9. Théorème IV. — Une somme d'un nombre déterminé

de nombres y dont la somme des carrés est constante ^ a sa valeur

maxima lorsque tous les nombres sont égaux, a étant la constante, on a

fP* + !/* + 2* 4- • • • = <*• Quand a? et j/ sont inégaux, on remplace dans u, xety par

— 2 , et appliquant le théorème (142) on achève

comme pour les autres théorèmes.

i5S. Théorème V. — Le ^produit d'un nombre déterminé de facteurs, qui sont élevés à des puissances différentes et dont la somme est constante^ a sa valeur maxima^ lorsque les facteurs sont proportionnels aux exposants.

Supposons pour fixer les idées trois facteurs seulement x, y, z élevés respectivement aux puissances données tw, n, p, et soit a la somme donnée. On a

u = x'^y''z^, x-^y -{-zziza, et si Ton pose

mTnY '

APPLICATION AUX PROBLÈMES. i67

il est clair que u et v atteindront leur maximum pour les mêmes valeurs de iP, y et z.

Mais on a

XX y y z z

mm n n P P

La somme des facteurs de v est \- - — , c est-à-

dire égale à a, le maximum aura donc lieu quand les facteurs seront égaux, ou quand on aura

Remarque. — On fait ici l'application du théorème I dans un

cas où les variables ne sont pas indépendantes puisqu'il y en

X ij z

a m égales à — , n égales à — et p égales à — . Mais comme ° m n p

ces relations n'empêchent pas que l'égalité de toutes les variables puisse avoir lieu, le maximum particulier est le même que le maximum général.

APPLICATION DBS THÉORÈMES ET PKOBLÈBtES PRÉCÉDENTS Â LÀ DÉTERMI- NATION DES MAXIMA ET MINIMA.

È&A. On va maintenant appliquer à divers exemples, les théorèmes et problèmes qui ont été donnés dans ce chapitre.

Problème I. — Trouver^ parmi tous les rectangles que l'on peut inscrire dans un triangle, celui dont Caire est maœima.

Soient b la base du triangle sur laquelle est placée l'une des bases du rectangle, h la hauteur correspondante, x et y la base et la hauteur du rectangle. On a

(1) u = xy, (2) -|-+|.= l.

Considérons maintenant la fonction v qui est définie par Téquâtion

gyy x y bh~ b ^T'

et qui devient maximà en même temps que u. On voit qu'on est ramené à trouver le maximum d'un proluit de deux fac-

teurs T- et -f- , dont la somme est constante eu vertu de Téquah

tion (2) ; le maximum aura donc lieu quand les deux facteurs seront égaux. Mais si on remplace -rr- par — dans l'équation (2),

on trouve y égal à — , et on arrive ainsi au théorème connu ( 1 20) .

Problème II. — Trouver le plus petit de tous les carrés inscrits dans un carré donné.

Si on appelle a le côté du carré donné, a? et ?/ les segments déterminés sur l'un des côtés de ce carré par un sommet du second, on a

M = ar* + !/*> x + y = a.

On est ainsi ramené à trouver le minimum de la somme des carrés de deux nombres dont la somme est connue, et Ton sait (140) que le minimum a lieu lorsque les nombres sont égaux. Le carré dont l'aire est minima est donc celui que l'on obtient en joignant les milieux des côtés du carré donné.

Problème III. — Par un point pris dans Pintérieur d'un cercle on mène deux cordes rectangulaires quelconques, on joint par des droites les extrémités de ces cordes^ et on obtient ainsi un quadrilatère : on demande de déterminer le quadrilatère dont Vaii e est maxima ou minima.

On s'appuie sur ce théorème de géométrie bien connu : dans un cercle, la somme des carrés de deux cordes rectangulaires, menées par un point fixe, est constante. Désignant par a^ cette somme constante et par xety les deux cordes, on a

xy u = -^ , a:« + y« = a».

La première équation peut être remplacée par celle-ci :

Si Ton veut d'abord déterminer le maximum, on voit qu'on est ramené à trouver le maximum d'un produit de deux facteurs x^ et î/» dont la somme est constante. Le maximum ayant lieu quand les deux facteurri sont égaux, on voit que l'aire du quadrilatère est maxima quand les deux co.des sont égales,