APPLICATION AUX PROBLÈMES

c'est-à-dire quand elles font un angle de 45° avec le diamètre qui passe par le point donné.

Maintenant, pour trouver le minimum, je m'appuie sur la solution du problème I (135). On a vu, dans la discussion de ce problème que le minimum d'un produit de deux facteurs dont la somme est constante, a lieu quand le plus grand et le plus petit facteur ont respectivement leur valeur maxima et minima. Mais ces dernières valeurs, qui sont égales à la somme donnée et à zéro dans la question purement algébrique, sont ici le diamètre passant par le point donné et la corde perpendiculaire. Donc, en traçant ces deux dernières droites et ache* vant le quadrilatère, on aura l'aire minima.

Remahqub. — On aurait encore pu traiter la question en se servant de l'identité.

2xî/= ^« + 1/ — (a? — yy.

Problème IV. — Trouver, parmi tous les triangles rectangles de même périmètre, celui qui a la plus petite hypoténuse.

a? et j/ étant les deux côtés de l'angle droit, a l'hypoténuse, 2p le périmètre, on a

(t) u^=x^ + y\ (2) u = 'ip—{X'{ y)

et en éliminant u entre ces équations, on obtient

ou encore

{'Ip — X) {2p — y) = 2p^

Mais la somme des deux facteurs dans le premier membre est 4p — x — y ou, à cause de Téquation (2), 2/? + w ; on est donc ramené à trouver le minimum de la somme ip-^-u de deux facteurs dont le produit est constant, et ce minimum a lieu quand les deux facteurs sont égaux, c'est-à dire quand x est égal à j/. Ainsi, parmi tous les triangles rectangles de même périmètre, celui qui a la plus petite hypoténuse est le triangle rectangle isocèle : c est le théorème déjà démontré (Problème II, 120).

PttOBLÈME V. — Trouver le maximum et le minimum de la somme de l'hypoténuse et de la hauteur correspondante dans tous les triangles r> ctangles de même périmètre 2p. * Cette question a déjà, été traitée (Problème II, 122 et

Prob. II, 133), mais je vais en donner une nouvelle solution pour bien faire comprendre l'importance de la remarque du n^ 143. (L'objet du problème suivant sera aussi le même.)

Si l'on se reporte au problème 11(133), on voit que, si Ton désigne par x l'hypoténuse variable, par y une variable auxiliaire, et par u une fonction qui varie dans le même sens que la somme, on a

(1) u = X'^y, (2) xy = 2p*.

Pour trouver le minimum, on ne saurait appliquer le théorème (138) puisque Thypoténuse x étant toujours plus petite que p, y d'après l'équation (2) est toujours plus grand que p : régal ité des facteurs a* et j/ n'est donc pas permise. Mais d'après l'étude de la variation de u faite au n* 137, on sait que le minimum de u correspond au maximum de x^ c'est-à-dire à p. Alors le triangle rectangle est nul, et l'on peut dire que, dans tous les triangles de périmètre 2/7, la somme de l'hypoténuse et de la hauteur correspondante est toujoure plus grande que p.

Quant au maximum, il aura lieu, d'après la discussion du problème II (137), lorsque x aura sa valeur minima ; seulement

cette valeur n'est pas comme dans le problème de pure

Algèbre, mais p(v/ 2 — 1) comme on l'a vu (Problème I, 100), et alors le triangle est isocèle.

Problème VI. — On veut donner une nouvelle solution du problème lïl (133).

Conservant les mêmes notations qu'au n<> 133, on a

{y est une variable auxiliaire définie par l'équation (2j), Comme

on l'a vu au n* 133, quand d est plus grand que r'-}-^ 1 / -7 ,

l'égalité de a? et 2/ est permise et on trouve le minimum de u par l'application du théorème (138).

Lorsque d est plus petit que r' -j- r j / —7 , l'égalité

de X ety n'est plus permise, parce qu'alors, x restant toujours plus grand que V a{a — d) (133), i/, à cause de l'équation (2), est toujours plus petit que \J a{a — d) . Mais, d'après la disons-