APPLICATION AUX PROBLEMES

sioii du problème (137), le miiiimuin de u et, par suite, le maximum de la somme des deux zones correspond au maximum de X.

Problème VII. — Trouver parmi tous les triangles de même périmètre celui qui a la plus grande surface.

X, y, 2, 2p désignant les trois côtés varial)les et le périmètre, on a

La somme des trois facteurs variables p — x^ p — y, p — z étant égale à p, on voit qu'on est ramené à trouver le maximum d'un produit de trois facteurs dont la somme est constante. Le maximum aura donc lieu quand les trois facteurs seront égaux, c'est-à-dire quand le triangle sera équilatéral.

Problème VIII. — D'un point pris dans V intérieur d'un tétraèdre on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces : on demande quel est le point auquel correspond le maximum du produit des perpendiculaires.

Soient Z/^, h^, h^, h^ les quatre hauteurs du tétraèdre, p<, pj, Pz, P* l^s perpendiculaires qui leur sont respectivement parallèles : on a

(1) '^=P4PiPsPAy

Pour la dernière équation voyez {Questions de Géométrie, page 86). Substituons à la fonction u la fonction v qui est définie par l'équation

lu /la h^ h^

et qui est maxima en même temps que u. On est ramené alors

à trouver le maximum d'un produit de facteurs dont la somme

est constante en vertu de l'équation (2). Par conséquent, le

maximum a lieu quand les facteurs sont égaux, et comme,

d'après l'équation (2), la valeur commune des facteurs est -7- ,

on a

Al lu Ao hi

le point demandé est donc le centre de gravité du tétraèdre.

Problème IX. — Trouver, parmi tom les cônes droits qui ont leur sommet au centre de la sphère et pour base un cerde de cette sphère, celui qui a le plus grand volume.

Soient r le rayon de la sphère et a: et y le rayon et la hauteur du cône : on a

Posons

la question est ramenée à trouver le maximum de v, c'est-à-dire d'un produit de deux facteurs a?* et r/*, dont la somme est constante, mais qui sont élevés respectivement aux puissances 2 et 1 . Donc, d'après le théorème V (153), on aura

Remplaçant alors dans l'équation (2) x* par 2y^ on aura

3y> = r^ d'où. y=lJji.

Remarque. — On aurait pu remplacer dans a x* par r^^y\ puis élever au carré ; mais le calcul eut été moins élégant.

Problème X. — Trouver^ parmi tous les cônes droits inscrits dans une sphère^ celui qui a le plus grand volume.

X et y étant encore le rayon de base et la hauteur du cône, on a

Ici on ne peut éviter de substituer, dans w, à x* la valeur que donne l'équation (2). En faisant cette substitution, il vient

La somme des facteurs t/ et 2r — y étant constante, on aura le maximum de u en posant

-|- = 2r-j/, d'où l'on déduit pour y la valeur - r,

Problème XI. — Par le centre d'une sphère donnée on mène un plan quelconque^ et on prend le grand cercle de section pour base d'un cône droit tangent à la sphère suivant la section: on demande de trouver le cône dont le volume est le plus petit.

On adopte toujours les mêmes notations : r est le rayon de là sphère, x le rayon de base du cône, y sa hauteur. On a

Mais si on forme deux expressions du double de Taire d'un triangle rectangle et qu'on les élève au carré, on obtient

ou

Posons

le minimum de u correspondra évidemment au maximum de V, Mais, à cause de Téquation (2), on est ramené à trouver le maximum d'un produit de deux facteurs, élevés respectivement aux puissances 2 et 1 et dont la somme est constante. Donc quand le minimum de v a lieu, on a

et en remplaçant —j- par -^ dans l'équation (2) on trouve

jr = -^ d'où î/ = rV3:

Donc le cône a le plus petit vokime, lorsque sa hauteur est égale au côté du triangle équilatéral inscrit dans Vun des grands cercles de la sphère,

MAXIMÂ ET DE MINIMÂ.

I&&. Lorsqu'on veut trouver le maximum d'un produit de facteurs dont la somme est constante, ces facteurs étant élevés

à la même puissance ou à des puissances difTérentes, si Ton suppose que tous les facteurs aient été exprimés en fonction d'une seule variable, l'application des théorèmes I et V (149) et (153) conduit à autant d'équations qu*il y a de facteurs moins un. Or, comme une seule équation suffit pour déterminer la valeur de la variable qui correspond au maximum, dès que le nombre des facteurs est supérieur à deux, on trouve, en général, des équations de condition entre les données, qui ne sont pas satisfaites, et les théorèmes I et V ne sont plus immédiatement applicables. Mais l'introduction de coefficients indéterminés dans le calcul permettra souvent d'étendre la méthode, fondée sur les théorèmes cités, au cas d'un nombre de facteurs supérieur à 2 : c'est ce qu'on va faire voir sur deux exemples.

Problème 1. — Aux quatre angles d'une feuille de papier rectangulaire, on enlève quatre carres égaux, puis on forme avec la feuille ainsi découpée un parallelipipède rectangle dont la hauteur est égale au côté du carré : on demande quel doit être le côté de ce carré pour que la boîte que Von a construite ait un volume aussi grand que possible.

Soit ABGD (fig. 18) le rectangle donné, et posons

AB=:a, .AD = 6, AK=a?.

Le parallelipipède rectangle a pour base le rectangle EFG dont les côtés EF et EH sont respectivement a — 2xeib — 2x ; on a donc

(1) Il = (a — 2x) {b — 2œ)x.

La somme des facteurs dans l'expression de u n'est pas constante, mais il est évident qu'on la rend telle, en multipliant le dernier facteur par 4. On devrait donc poser, d'après la méthode connue,

a — 2x = 6 — 2x = ix.

Mais la première équation donnant a égal à 6, on voit que le théorème I (149) n'est pas applicable à la fonction 4u.

Voici maintenant comment on remplace la fonction w par une fonction v, maxima en même temps qu'elle et tombant sous l'application du théorème I (149). Soient a, /3, 7 trois coefficients constants, mais d'aboM indéterminés : on pose

La fonction v est maxima en même temps que u, et on écrit que la somme des facteurs qu'elle contient est constante, eu exprimant que le multiplicateur de x dans cette somme est nul. On a ainsi

On peut maintenant écrire que les facteurs de v sont égaux, et Ton obtient ,., a — 2x b -^ 2x X

On voit que les équations (4) ne donnent plus une condition entre les données après Télimination de ^r, mais seulement une équation entre les indéterminées.

Pour achever le calcul, remarquons que l'équation (4) est homogène par rapport à a, j5, y et que, d'apiès les équations (3), ces indéterminées sont proportionnelles à a — 2ar, h — 2x et x. On remplacera alors dans l'équation (3) «, |3, 7 par les trois dernières quantités, et Ton aura,

a — 2x b — 2x X d'où

(5) 12x« — 4(a + b)x + aft = 0.

On tire de cette équation

Les deux racines sont évidemment toutes deux réelles et positives, mais je dis que la plus grande doit être rejetée comme

supérieure à — . En effet, si Ton substitue dans Téquation (5)

■^ à a?, on obtient le résultat négatif b{b — a), ce qui prouve

b que ~- est compris entre les deux racines.

Quand x est déterminé, les équations (4) donnent des va-

leurs réelles et positives pour les rapports — , — , etlamé-

thode est justifiée.

Si le rectangle devenait un carré, /; serait égal à a et l'on

trouverait pour x la valeur — . C'est ce qu'il est du reste facile d'établir directement, en remarquant que la fonction u est alors donnée par l'équation

u = x{a — 2j?)* = — X ix[a — 2j?)*.

Remarque. — On n'a pas calculé les valeurs des coefficients indéterminés, car il suffit évidemment, pour la justification de la méthode, que Ton ait vérifié que ces indéterminées ont des valeurs réelles et positives. On aurait pu aussi n'introduire que deux indéterminées dans le calcul, puisqu'on a deux équations pour les calculer, mais l'introSuction de trois indéterminées donne plus d'élégance et de symétrie aux calculs.

Problème IL — Parmi t(ms les cônes inscrits dans une sphère, quel est celui dont la surface totale est maxima, V Soient r le rayon de la sphère, a?, j/, z le rayon de base, la hauteur et Tapothème du cône, on a

(1) u = ir{x^ -^ xz),

(2) ^ = y(2r-î/), (3) z^=2ry,

et en substituant dans l'équation (Ij à x et z leurs valeurs tirées des équations (2) et (3), il vient

(4) u = ny{2r—y + V 2r(2r - j/)) .

Ici l'expression de u est irrationnelle,, mais prenons uue nouvelle variable t égale au radical, nous aurons

(5) }j2r{2r^y)=t, d'où

Ar^ — t^ y— 2r ' ^ .

et en substituant dans l'équation (4) à y la valeur que donne Téquation précédente, il vient

(2r + 0V2r - Qt „, .

Posons maintenant

en écrivant que la somme des facteurs de v est constante, on a

Appliquant ensuite le théorème V (153), on obtient les deux équations m 2r + t 2r-t t

Remplaçant enfin dans l'équation (6) a, ^, y par les quantités proportionnelles - — 3l — , 2r — t, t, ou a

2^rt — 2r»=0,

<=-J-(i + VT7)-

On voit par l'équation (5) que la variable t est la longueur de la corde supplémentaire de Tapothème du cône ou le double de la distance de cette apothème au centre.

d'où Ton tire