CHAPITRE XVII

LOGARITHBfES. ^ INTJÊEËTS <X)MPOSËS. — AmrUITÉS.

PROGRAMME

!*•. Définition des logarithmes an moyen de deux progressions géométrique et arithmétique croissantes, commençant respectmmeot par l'unité et zéro. Comment on continue les deux progressions vers ]a gauche, par des nombres plus petits que 1. pour la progression géométrique^ et par des nombres natifs pour la progression arith métique. — L'ensemble des deux progressions détermine an système de logarithmes.

Définition du logarithme d^nn nombre qui ne fait pas partie de la progression géométrique Pour y arriver, on démontre d^abord qu'en insérant un nombre de moyens suffisamment grand entre deux termes consécutifs des deux progressions, on obtient une différence aussi petite que Ton veut entre deux termes consécutifs des progressions nouvelles. — Faire concevoir comment on peut obtenir des valeurs aussi approchées que Ton veut des logarithmes.

TfiéORÈMES GÉNÉRAUX.

Théorème I. — Le logarithme d'un produit de plusieurs facteurs est égal à la somgiie des logarithmes des facteurs. — On suppose d'àbord que les nombres font partie de la progression géométrique et Ton considère trois cas suivant que les nombres sontplusgrands que 1, plus petits que 1, ou les uns plus grands, les autres plus petits que 1. On étend ensuite le théorème aux nombres ne faisant pas partie de la progression géométrique, au moyen du théorème général sur les limites.

Théorème II. — Le logarithme d'un quotient est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur.

LOGARlTHMEa - INTÉRÊTS COMPOSÉS. - ANNUITÉS. 179

Théorème III. — Le logHrithme de la puissance d'un nombre est égal an logarithme du nombre muiriplié par Texposant de la puissance.

Théorème IV. ^ Le logarithme de la racine d'un nombre est égal au logarithme du nombre divisé par Tindice de la racine.

Faire voir comment, au moyen d'une table de logarithmes» les multiplications et divisions sont remplacées par des additions et soustractions, et les élévations aux puissances et les extractions de racines se trouvent ramenées à des multiplications et des divisions.

Ct qu'on entend par la base d'un système de logarithmes. —

Choix de la base (10). — Théorème. — Les nombres qui sont des

puissances de 10 on -j^ sont les seuls qui ont des logarithmes com-

mensurables, — On exprime les logarithmes des autres nombres en décimales, et il y a alors à déterminer leur partie entière, qu'on appelle la caractéristique, et la partie décimale. — La -caractéristique peut toujours se déterminer à. simple vue. Quand le nombre est plus grand que 1 , la caractéristique de son logarithme est égale au nombre des chiffres de sa partie entière diminuée de 1. Quand le nombre est plus petit que 1, et exprimé en décimales, on remarque que son logarithme peut être pris entièreifflent négatif ou à caractéristique seule négative. Dans ce dernier cas, la valeur absolue de la caractéristique est égale au rang du premier chiffre significatif à droite de la virgule, dans l'autre cas, cette valeur doit être diminuée d'une unité. On remarque que les parties décimales de deux logarithmes d'un même nombre, l'un entièrement négatif, l'autre à caractéristique seule négative, ont une somme égale à l. — Règle pratique qujon en tire pour déduire les deux parties décimales, l'une de l'autre. — Théorème. — Quand on multiplie ou qu'on divise un nombre par une puissance de 10 la partie décimale du logarithme n'est pas chan^.

' tISÂQË DES TABLES.

Problème I. ~ Un nombre étant donné trouver son logarithme.

i' Le nombre est plus grand que 1 et a 7 ligures au plus. Il est d'ailleurs entier ou décimal

2" Le nombre est plus grand que 1 et représenté par une fraction ordinaire.

3» Le nombre est décimal et plus petit que 1 .

4» Le nombre est une fraction plus petite que 1.

^° On veut déterminer le logarithme d'une fraction ,., /examen

aoc ^

des différents cas) emploi des logarithmes entièrement tiégalifs et

usage de la règle pour transformer un logarithme, à caractéristique seule négative, en un logaritlinie entièrement négatiL — AncienDe méthode des compléments.

Problème IL — Un logarithme étant donné, trouver le nombre

correspondant,

La règle est la même quand le logarithme est positif ou à caractéristique seule positive. Quand le logarithme esl entièrement négatif, on le transforme d'abord en un logarithme à caractéristique seule

négative. Calculer la valeur d*un nombre x donné par une équation de la

forme

Examen du cas où x est plus petit que 1.