CHAPITRE PREMIER

APPLICATION DBS RÈGLES DU CALCUL ALGÉBRIQUE. - IDEN- TITÉS. - THÉORÈMES. - CALCULS RELATIFS AUX FIGURES GtoMÉTRIQUES. - EXERCICES PROPOSÉS.

tftV . Le but principal qu'on se propose ici est de donner aux élèves le goût des calculs élégants et symétriques, et de leur faire connaître en même temps des théorèmes ou formules dont il est fait souvent usage par la suite. Quelques applications à la Géométrie ont aussi été présentées, parce qu'un calcul, même long et pénible, devient intéressant dès qu*il conduit à un résultat utile ou susceptible d*être vérifié par une autre méthode.

Voici d'abord quelques définitions.

IM. Pcsrmatation de deux lettres» — On dit qu'on permute deux lettres a et 6 dans une expression algébrique, quand on y remplace a par 6 et 6 par a,

!&•. Fonotic»!! «y métrique. — Une expression algébrique qui contient plusieurs lettres a, 6, c . . . est dite une fonction symétrique de ces lettres lorsqu'elle ne change pas par la permutation de deux quelconques d'entre elles.

100. jpoiynome homof^éne. — Un polynôme entier et rationnel par rapport à plusieurs lettres est dit une fonction homogène de ces lettres, lorsque la somme de leurs exposants dans chaque terme est constante.

i^l* Pouction llnéMlre d*une ou de plusIeuiSR viirla-

bies. — Un polynôme qui est entier, rationnel et du premier

degré par rapport à des variables est dit une fonction linéaire de ces variable.

lOlf. tBémonfttriitlon de quelque» Iden titrés* — li

s*agit des identités suivantes :

(1) ((^fbXa-6)=a*-b^

Ci) (a+d)« -(•-b)*=4flè

(3) (a+b)«-Ka-fc)«=2(a«-H>«)

(4) (ma+nb)*-f(ma-nb)«=(mH-»')(a«-|-b»)

(5) (ma— nb)« -(na -fnb)h=[m* -n»Xa«— b»)

(6) (ca'-oc'Xdb -bd')=(5a'-ab'X<ic'— cd')-Kda' -ad'^eb'- bc')

(7) (a«+bî4.c«4-d)(a'«+b'«-H;'«+<i'') -{<^'-^^'+cC+dd)*

=(ab'-ba )«-Kac' - ca')H<<»*'-A»')H-{*^ -cbOH<^<^-db')H<«*'-dc')*.

Ces identités ont été réunies ici parce qu'elles sont souvent employées : leur démonstration n'offîre aucune difKddlé. Cependant je saisis l'occasion de la dernière identité pour faire voir comment certains résultats doivent être démoûtrts sans écriture inutile.

La fonction qui est dans le premier membre étant symétrique par rapport aux lettres qu'elle contient, il suffira de calculer seulement les termes types ^ c* est-à-dire ceux dont ou ' peut ensuite déduire les autres par un simple changement de lettres. Cberchons, par exemple, les termes qui ne contiennent que les lettres a et b^ avec ou sans accent. En formant succès* sivement les termes qui ne contiennent que la letb« a, la lettre b^ ou encore les deux lettres à la fois, on obtient

c'est-à-dire simplement le terme {aV — bay. On a ensuite les cinq autres termes du second membre par un simple changement de lettres.

Généralisation, — On voit facilement que l'identité (7) s'étend à un nombre quelconque n de lettres a, 6, o, d^ e,,.^ c'est-à-dire que le premier membre est égal à une somme de carrés dont le nombre est celui des combinaisons de n lettres 2 à 2.

On va donner quelques autres exemples du même mode de démonstration que l'on vient d'employer.

ittS. Théorème I. — Le carré d'un polynôme est égaîà la somme des carrés de tous ses tm^mes augwwnUée de és^k» fois la sormm de leurs produits deux à deux.