APPLICATION DES RÈGLES DU CALCUL ALGÉBRIQUE
On écrit
Puisque la fonction cherchée est évidemment symétrique» formons seul^aient, suivant la méthode, les termes qui contiennent a et 6. En multipliant les deux termes du multiplicande a et 6, respectivement par les termes a et 6 qui sosit placés au-dessous d'eux, on a a* et b^ ; puis en multifikiant en croix on obtient ab + ab ou 2ab. Le développement demandé contenant a* et 2aè, renferme, pai cela même, les carrés de tous les termes et les doubles de tous les produits deux à deux : le théorème est donc démontré.
ivotation. — On représente ordinairemenl; une fonction symétrique de plusieurs lettres en écrivant une seule fois le terme type et le faisant précéder de la lettre 2. Cette dernière lettre indique que le polynôme est la somme de tous les termes qui se déduisent du terme écrit, au moyen d'un changement de lettres : aussi on écrira
a-^-b -\- c . . . + l=zta.
Le théorème qu'on vient de démontrer est alors représenté par la formule
(I) {là)* = la* + 22afc.
ISA. Théobême II. — Le cube d'unp olynome a+b-fc ... +1 qu'on représerUe pour abréger par 2a est donné par la formule
Pour arriver à la formule demandée, on multiplie par la la valeur de (sa)* donnée par la formule (1) du théorème précédent. On remarque d'abord que le polynôme cherché étant un polynôme homogène du troisième degré ne peut contenir que trois espèces de termes dont les types sont : a', a*6, abc. Formons successivement chacun de ces termes.
Le terme a^ ne se présente qu'une fois airec le coefficient 1 dans la multiplication de s a' par i a. Mais le terme a*b s'obtient, une première fois, avec le coefficient 1 dans la multiplication de la* par i a et, une seconde fois aVec le coefficient 2 quand on multiplie 2 2 ab pa z a ; on a doilc bien 3a'6. Quant au terme ate, on Tobtient trois fois avec le coefficient 2 dans
19S QUESTIONS D'ALGÈBRE ËLËMENTAIRH.
la multiplication de 2iab par za, lorsqu'on multiplie '2a6, 2ac, 2bc^ respectivement, par c, 6, a ; le terme du développement est donc 6abc. Le théorème est démontré.
Les commençants qui étudieront les démonstrations précédentes, devront d'abord remplacer les expressions abréisées par leurs développements explicites Us s'exerceront ensuite à répéter les rai« sonnements, comme nous l'avons fait, en supprimant toute échture inutile.
>. DémofUrer tidentité
= a* + 6* + ^ — 2ût»6* — 2aV — 26V.
En appliquant la formule (1) (162), on a d'abord
développant maintenant les seconds membres on est conduit à multiplier, l'un par l'autre les deux polynômes
a'-f &« --C» + ?afc, a« + 6> — c» — 2ab,
et, en appliquant de nouveau la formule (1) (162) on trouve le second membre de la formule (1).
IMI. A la suite de chacun des facteurs du premier membre de l'équation 1, on écrit successivement -\-àet — ai et Von obtient ainsi 8 polynômes
a+*+c+d, a+6-f-c— d, a-f-ft.— c-f-rf, a-^b — c — d d — 6+^+^> « — b-^-c—dj a— fr— c-frf, a — h — c — d,
dont on représente le produit par P : (m propose de démontrer la formule
( 1 ) P = 2 a« — 4 2 a«ft» + 6 2 a*6* 4- 4 2 a*6 V + 24a«èV#.
Eu multipliant, entre eux, les deux première facteurs, puis le troisième et le quatrième, on a les deux polynômes
(a« + ft2 ^ ^ ^ ^ 2ab) + 2c (a + 6) , (a« 4- ft* + c» — d« + 2ab) — 2c (a + b) ; le produit des quati'e premiers facteurs est donc
(a« + 6« + c» — d» -f 2aby — 4c« (a + by.
On voit ensuite facilement que les* quatre derniers facteurs se déduisent des quatre premiers en changeant fc en — 6 ; le
