APPLICATION DES RÈGLES DU CALCUL ALGÉBRIQUE

produit des quatre derniers facteurs se déduira donc du produit des quatre premiers en faisant le même changement et il sera

(a» + 6» + c« — rf* — iabf — 4c« (a — b^.

Développant les deux derniers polynômes, on voit qu'on est encore ramené à multiplier une somme par une différence.

Remarque I. — Après avoir vérifié que la fonction cherchée est symétrique par rapport aux lettres a, 6, c, rf, on aurait pu remarquer tout d'abord qu*il n'y a que cinq espèces de termes et chercher les termes types, mais ici cette manière de procéder eut été un peu difficile pour les commençants.

Remarque II. — Lés deux dernières identités que Ton a démontrées prouvent que les polynômes calculés sont des fonctions symétriques des différentes lettres et qu'elles ne les contiennent qu'à des puissances paires. Ce résultat peut être généralisé, comme le montre le théorème suivant.

tev. Théorème I. — Étant données n lettres a, b, c . . . 1,

on forme 2 polynômes par la règle suivante: on écrite à la suite de a, -\-h et — b, et on a ainsi les deux binômes a-f- b et a — b ; à la suite de a -f- h e^ a — b on écrit successivement + c ef — c ei on obtient ainsi les quatre polynômes qui figurent comme facteurs dans le premier membre de Viden- ^ife' (I ), (165); on écrit à la suite des quatre polynômes d et — d, et on obtient ainsi les 8 facteurs de P dans l'identité (1), (166) ; on écrit à la suite de chacun des huit polynômes -{-eet — e^et ainsi de suite^ jusqu'à ce que toutes les lettres aient été em-

ployées : on propose de démontrer que le produit des 2**^* derniers polynômes est une fonction symétrique de toutes les lettres élevées à des puissa/nces paires, (Dans le cas de deux lettres seulement, le produit a* — 6* n'est pas symétrique par rapport aux deux lettres).

Pour fixer les idées, prenons les huit polynômes qui ont été écrits au commencement du n' 166. On remarque que, dans tous les termes, a entre avec le signe +, et que les autres lettres entrent avec des signes contraires dans les deux polynômes extrêmes et en général dans les polynômes équidistants des extrêmes. Il est clair d'ailleurs que, dès que le fait a été vérifié jusqu'à un certain nombre de lettres, il est vrai quand on

t»o QUESTIONS O'âLGÈBRB ÉLÉMENTAIRE.

prend une lettre de plus ; il peut donc être considéré comme démontré, quel que soit le nombre des lettres.

Cela posé, je vais d'abord prouver que le produit des polynômes est symétrique. Il y a deux cas à distinguer, suivant qu'on permute une lettre / avec a ou Tune des autres lettres.

\^ On permute l et a. — Soit P une certaine sonmie algé-

briqne des lettres 6, Cj d k autres que a et /. Il résulte de la

règle de formation des polynômes, qu'on aura en même temps ces deux ci : a-}-P+^ ^ — P + 'î °i2iis en vertu de la remarque faite en commençant, les deux polynômes qui sont respectivement, à la même distance des extrêmes que les précédentes seront : a — P — i, a + P — /.

Mais le produit des quatre facteurs est symétrique par rapport à a et / (165), et il en sera évidemment de même de la fonction cherchée qui peut être considéré comme le produit des facteurs, près 4 à 4, ainsi que nous l'avons dit.

2® On permute 1 avec uns lettre autre que a. — Soit, par exemple, la lettre c qu'on permute avec /. Q désignant une somme algébrique des lettres a, 6 . . . t, autres que c et /, on aura les deux polynômes à égale distance des extrêmes

Or le produit de ces polynômes est évidemment une fonction symétrique de c et /, ei il en est évidemment de même du produit de tous les facteurs.

Il faut mainlement démontrer que le produit des polynômes formés d'après la règle ne contient que des puissances paires des lettres.

Le produit étant symétrique par rapport à toutes les lettres, tout revient à démontrer que la dernière lettre introduite, que nous appellerons p, n'entre dans le produit qu'avec des exposants pairs. Or cela est évident, car si Ton désigne par S, T, U . . . les polynômes formés en s'arrêtant à la lettre qui précède p, le produit sera égal à

ou

produit qui ne contient que des puissances paires de p. Le théorème qui précède sera souvent employé par la suite.

IDENTITÉS DÉMONTRÉES. m

fffi9i. Théorème II . — 1^ produit de deux nombres qui sont les sommes des deuw carrés est lui même la somme de deux carrés.

Soient a' -{- fc* et a" + b'^ les deux nombres donnés, on a par la simple mullipiication

(a^ + i«) (c« + d^) = (a«c« + b^d^) + {aH^ + b^c^).

Dans le second membre on a formé deux groupes tels que les termes de chacun d'eux n'aient pas de lettres communes. On voit alors que si Ton complète les carrés des deux binômes par le terme 2abcd pris avec le signe + ou le signe — , on aura

(a» + b^) (c« + (P)= {ai* + bd)^ -f {ad — b&)^ ou

(a« + è») (c^ + d«) = {ac — bd)* + {ad-\-b&).

On voit que la décomposition en carrés peut se faire de deux manières. C'est ce qu*on aurait aussi trouvé en changeant de signe une quelconque des lettres dans la première identité.

iG0. Théorème 111. — Le produit de deux nombres qui sont des sommes de quatre carrés est lui-même la somme de quatre carrés.

On part de l'identité (6) (161). Cette identité montre que le produit des deux nombres donnés est la somme de sept carrés, mais en imitant la méthode suivie dans la démonstration du théorème précédent, on peut faire voir que les six carrés que renferme le second membre de Videntité (7) se réduisent à trois.

Formons, en effet, trois groupes de carrés sous la même condition que tout-à-l'heure, nous aurons

(«y bay + {cd' — dc% lae' — cay + {àd' — dby, {ad' - day + {bc' — c6')*.

Mais, à cause de l'identité (p) (161), on peut ajouter au ^*emier et au troisième polynôme les doubles produits des termes qui sont élevés au carré dans chacun d'eux, et retrancher le double produit analogue du deuxième polynôme. On aura alors les trois carrés

{ab' — ba' + cd' — d&)\ {ad — ca' — W' + dWf,

{ad^'-da' + bd — cby;

x'est ce qu'il fallait démontrer.

exercices sur la. décomposition d'un polynome en une somme de

Carrés.

190. Exemple I. — Décomposer le polynôme général du second degré à deux variables.

ay^ -|- bxy '\- cx^ -\- dy -{-ex-^-f

en une somme de deux' carrés de .fondions linéaires dexetj augmentée d'une quantité indépendante de ces variables. Le polynôme ordonné par rapport à y peut s'écrire :

ay* + (to + (/)y + car* + ^^ + /^î

et si l'on met a en facteur dans les deux premiers termes et que Ton complète les carrés, il devient

Mettant maintenant ; en facteur dans le second et le

troisième terme et complétant le carré, on a

{bd—îaef

\^^ 2a /^ 4a \ iac^b^j^'

Aa{iac — b*)'

On voit que les carrés sont multipliés par des constantes; mais on arrive à l'énoncé, tel qu'il a été donné, en remplaçant les coefficients des carrés par les carrés de leurs racines. Ainsi

^[vA 9^ — I S écrira :lv (^ [y-\ ^ — Il ; mais alors les

fonctions linéaires peuvent contenir des coefficients imaginaires.

Remarque. — La démonstration précédente suppose que a n*est pas nul. Si a était nul, sans que c le fût, on commence-

(by -^ e \ x^ -j — 2— i — \ mais si a et é?

étaient nuls la méthode ne serait plus applicable : ce cas est traité dans l'exemple suivant.

111. Exemple TI. — bxy -f dy -f ex + ^ <?v^ le polynôme donné.